Contoh Soal dan Pembahasan Sifat Sifat Bilangan Bulat kelas 7

Sifat Sifat Bilangan Bulat – Pada kesempatan kali ini, secara umum akan dibahas seperti bagan di bawah ini:

Jenis-jenis Bilangan
1. Bilangan asli   : 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
2. Bilangan cacah   : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
3. Bilangan bulat   : … ,-2, -1, 0, 1, 2, …
4. Bilangan genap  : 0, 2, 4, 6, 8, …
5. Bilangan ganjil  : 1, 3, 5, 7, 9, …
6. Bilangan prima  : 2, 3, 5, 7, …

Operasi Hitung pada Bilangan Bulat
Operasi Penjumlahan
1. Penjumlahan pada bilangan cacah
Pada garis bilangan seperti gambar di atas, a+b bermakna dari a kemudian bergerak ke kanan sepanjang b. Bentuk dari a + b kita sebut dengan penjumlahan.

2. Penjumlahan pada bilangan bulat
Seandainya  kita memiliki m dan n dimana m, n adalah bilangan bulat, maka:
a. Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
m + [-n] = m – n
m – [-n] = m + n
m + [+n] = m + n
m – [+n] = m – n

b. Perkalian dan pembagian bilangan bulat
m x n = p
m x [-n] = -p
[-m] x n = -p
-m x [-n] = p
m : n = q
m : [-n] = -q
[-m] : n = -q
-m : [-n] = q

NOTES
Hasil perkalian dan pembagian dari bilangan
1. + dengan + adalah +
2. + dengan – adalah –
3. – dengan + adalah –
4. – dengan – adalah +

3. Sifat-sifat pada penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
Sifat-sifat pada penjumlahan bilangan bulat antara lain sebagai berikut.
Sifat komutatif
1. p + q = q + p
2. p x q = q x p
catatan: Sifat komutatif tidak berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh sifat komutatif penjumlahan:
2 + [-1] = 1
-1 + 2 = 1
Dari contoh ini kita bisa lihat bahwa 2 + [-1] = -1 + 2
Contoh sifat komutatif perkalian:
-8 x 2 =  -16
2 x [-8] =-16
Dari contoh ini juga bisa kita lihat bahwa  -8 x 12 = 12 x [-8]
Nahhh… dari dua contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa:
Misalkan a,b merupakan bilangan bulat sembarang maka a + b = b + a dan a x b = b x a
Atau
apabila kita tuliskan dalam bentuk matematis akan seperti berikut:

a + b =b + a
a x b = b x a
dimana:
a,b  adalah bilangan-bilangan bulat

Sifat asosiatif
1. [p + q] + r = p + [q + r]
2. [p x q] x r = p x [q x r]
catatan: sifat assosiatif tidak berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh sifat asosiatif penjumlahan:
2 + 4 = 6
6 + 5 = 11
7 + [-5] = 2
Contoh sifat asosiatif perkalian:
2 x 4 = 8
8 x 1 = 8
2 x 5 = 10
Nahhh…
dari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan bilangan
bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Atau apabila kita
tuliskan dalam bentuk matematis akan seperti berikut:
a + b = c
a x b = c
dimana:
a,b dan c adalah bilangan-bilangan bulat

Sifat Identitas
1. p + 0 = 0 + p = p
2. p x 1 = 1 x p = p
catatan: bilangan 0 [nol] adalah unsur identitas penjumlahan sedangkan 1 [satu] adalah unsur identitas perkalian
Contoh sifat identitan penjumlahan:
4 + 0 = 4
0 + 4 = 4
Dari contoh tersebut dapat kita lihat bahwa jika 0 ditambah  suatu bilangan maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
Contoh sifat identitan penjumlahan:
4 x 1 = 4
1 x 4 = 4
Dari contoh tersebut dapat kita lihat bahwa jika 0 dikali dengan suatu bilangan maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Sifat Asosiatif
[a + b] + c = a + [b + c]
[a x b] x c = a x [b x c]
Contoh sifat asosiatif penjumlahan:
[4 + 2] + 1 = 6 + 1 = 7
4 + [2 + 1] = 4 + 3 = 7
Dari contoh ini kita bisa lihat bahwa [4 + 2] + 1 = 6 + 1 = 4 + [2 + 1] = 4 + 3
Contoh sifat asosiatif perkalian:
[4 x 2] x 1 = 8 x 1 =8
4 x [2 x 1] = 4 x 2 =8
Dari contoh ini kita bisa lihat bahwa [4 x 2] x 1 = 6 x 1 = 4 x [2 x 1] = 4 x 3

Sifat Invers 
a + [-a] = 0
-a + a = 0
a x [1/a] =1
[1/a] x a =1
Contoh sifat invers penjumlahan:
4 + [-4] = 0
-4 + 4 = 0
Dari contoh tersebut dapat kita lihat bahwa suatu bilangan positif atau negatif bila dijumlahkan dengan lawannya [negatifnya] maka hasilnya selalu nol.
Contoh sifat invers perkalian:
3 x [1/3] = 1
[1/3] x 3 = 1
Dari contoh tersebut dapat kita lihat bahwa suatu bilangan bila dikaliakan dengan lawannya [satu per bilangan tersebut] maka hasilnya
selalu satu.

Contoh Soal
1. Hippo adalah seorang pedagang pakaian. Pada hari pertama ia mengalami kerugian sebesar Rp100.000. Hari kedua ia mendapat untung Rp150.000. Hari ketiga ia mengalami kerugian lagi sebesar Rp25.000. Apakah Hippo mengalami kerugian atau keuntungan setelah berjualan selama tiga hari tersebut?
Jawab:
Hari pertama Hippo mengalami kerugian = -Rp100.000
Hari kedua Hippo mengalami keuntungan = Rp150.000
Hari ketinga Hippo mengalamai kerugian = -Rp25.000
Sehingga:
-100.000 + 150.000 + [-25.000] = 25.000
Jadi, selama tiga hari berjualan Hippo mendapat keuntungan sebesar Rp25.000

2. Tentukan nilai a dan b pada soalb berikut:
a. 7 + a = [-3] + 7
b. [8 + 4] + b = 8 + [4 + [-2]]
Jawab:
a. Untuk jawaban a, coba Gengs kembali lihat sifat komutatif
7 + a = [-3] + 7 maka a = -3
b. Untuk jawaban b, coba Gengs lihat kembali sifat asosiatif
[8 + 4] + b = 8 + [4 + [-2]] maka b = -2

Operasi Perkalian

Misalkan kita mempunyai suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari seperti sebuah rumah berlantai tiga dengan tinggi tiap lantainya 6 meter maka berapakah tinggi rumah tersebut [tanpa atapnya]. Dari permasalahan kita tersebut, dapat ditunjukkan bahwa ada tiga lantai dengan tinggi masing-masing 6 meter. Jika kita tuliskan secara matematis akan seperti berikut:
3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18
Dengan demikian tinggi rumah tersebut adalah 18 m.

Dari uraian tersebut, kita dapat menarik suatu kesimpulan secara matematis sebagai berikut:
a x b = b + b + b + …+ b
dimana:
a,b bilangan bulat
b dijumlahkan sebanyak n kali

Arti perkalian dua bilangan cacah tersebut dapat dipergunakan untuk mencari hasil perkalian tersebut
1. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Contoh: 5 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25
2. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
Contoh: 4 x [-2] = [-2] + [-2] + [-2] + [-2] = -8

Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
-1 x 4 = -4
-5 x 1 = -5
2. Perkalian dua bilangan bulat negatif
-2 x [-3] = 6
-1 x [-2] = 2
3. Perkalian dengan bilangan nol
-4 x 0 = 0
2 x 0 = 0
4. Perkalian dengan bilangan 1
3 x 1 = 3
-6 x 1 = -6
5. Perkalian dengan bilangan -1
8 x [-1] = -8
-7 x [-1] = 7
Berdasarkan contoh-contoh tersebut, maka kesimpulan yang dapat kita buat adalah seperti berikut ini:
1. Hasil kali bilangan positif adalah bilangan positif
2. Hasil kali dua bilangan berbeda tanda adalah bilangan negatif
3. Suatu bilangan bila dikali dengan [-1] maka hasilnya adalah lawan dari bilangan itu sendiri
4. Suatu bilangan bila dikali 0 maka hasilnya 0
5. Hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif
6. Suatu bilangan bulat bila di kali 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Contoh Soal:
Suhu suatu larutan turun 3 derajat setiap 1 jam. Jika suhu sekarang 0 derajat. Tentukan suhu larutan tersebut setelah 5 jam!?
Jawab:
Penurunan suhu setiap 1 jam = -3 derajat
Sehingga, suhu larutan setelah 5 jam = 5 x [-3] = -15 derajat
Dapat diartikan bahwa suhu larutan turun 15 derajat dari suhu semula.

Operasi Pembagian

Coba Gengs perhatikan ilustrasi sederhana berikut ini:
Ada beberapa anak, masing-masing memiliki 4 buah permen. Jika semua permen tersebut dikumpulkan maka terdapat 12 buah permen. Pertanyaannya: berapa orang jumlah anak?
Ilustrasi sederhana tersebut dapat kita tuliskan sebagai berikut:
……… x 4 = 12, jawaban adalah 3 sehingga 3 x 4 = 12

Hubungan antara perkalian dan pembagian adalah:
3 x 4 = 12    <==> 12 : 4 = 3

Dengan cara yang sama kita peroleh:
3 x 6 = 18    <==> 3 =  18 : 6  atay 6 = 18 : 3
2 x y = 8     <==> y = 8 : 2

Dengan demikian, secara matematis dapat kita tuliskan sebagai berikut:
a : b = c <==> c x b = a
<==> a = b x c
Sehingga operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian

Dengan menggunakan sifat operasi pembagian yang merupakan kebalikan dari operasi perkalian, perhatikan contoh-contoh berikut:
1. 8 : 4 = 2 <==> 2 x 4 = 8 atau 4 x 2 = 8
2. 8 : [-4] = -2 <==> -2 x -4 = 8 atau -4 x -2 = 8
3. -8 : 4 = -2 <==> -2 x 4 = -8 atau 4 x [-2] = -8
4. -8 : [-4] = 2 <==> 2 x [-4] = -8 atau -4 x 2 = -8
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Hasil pembagian dua bilangan yang berbeda tanda adalah bilangan negatif
2. Hasil pembagian dua bilangan negatif adalah bilangan positif
3. Hasil pembagian dua bilangan positif adalah bilangan positif.

Selanjutnya, bagaimana menentukan hasil dari pembagian suatu bilangan oleh nol?
Misalkan: 8 dibagi nol hasilnya a. Jika soal tersebut benar maka akan berlaku:
8 : 0 = a <==> a x 8 = 0
Namun, ternyata tidak ada bilangan pengganti untuk a. Berarti membagi suatu bilangan dengan nol, tidak dapat didefinisikan.

Contoh Soal
Usaha dagang Hippo dalam satu minggu menggalami kerugian sebesar Rp28.000 Tentukan rata-rata kerugian tiap harinya!
Jawab:
Kerugian dalam 1 minggu = Rp 28.000 [ 1 minggu = 7 hari]
Kerugian setiap hari: -28.000 : 7 = -4.000
Sehingga, rata-rata kerugiannya Hippo setiap harinya adalah Rp4.000

Operasi Pengurangan

Bilangan manakah yang jika ditambah 20 akan menghasilkan 80?
Jawabannya pasti 60. Jawaban tersebut diperoleh dari: 80 – 20 = 60

Secara umum dapat ditulis:
a – b = a + [-b]
Contoh:
1. 8 – 6 = 8 + [-6]
2. 10 – 7 = 10 + [-7] = 3
Operasi pengurangan sebagai lawan dari operasi penjumlahan.

Contoh Soal
Suhu di kota X pada pukul 23.00 adalah -1 derajat, sedangkan pada pukul 12.00 adalah 7 derajat. Tentukan beda suhu antara kedua waktu tersebut di kota X!
Jawab:
Permasalahan di atas dapat kita sederhanakan sebagai berikut:
7 – [-1] = 8
Sehingga, beda suhu antara kedua waktu tersebut adalah 8 derajat.

Operasi Berpangkat

a. Makna Pangkat sebagai Perkalian Berulang
Perhatikan perkalian berulang berikut ini:
234 dapat dituliskan  sebagai perkalian berulang berikut ini:

Operasi perkalian berulang dengan faktor yang sama seperti kasus di atas disebut operasi berpangkat.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
2 x 2 = \(2^{2}\)
a x a x a x a = \(a^{4}\)

Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

Contoh:

Bilangan 27 dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang dari?
Jawab:
27 = 3 x 3 x 3

Contoh Soal
Tuliskan perkalian berulang berikut sebagai operasi berpangkat
a. 5 x 5
b. -5 x [-5]
c. 2 x 2 x 2
d. [-2] x [-2] x [-2]
Jawab:
a. 5 x 5 = \(5^{2}\)
b. -5 x [-5] = \([-5]^{2}\)
Karena 5 x 5 = 25 dan -5 x [-5] = 25
maka \((-5)^{2}\) = \((5)^{2}\), ternyata pangkat 2 adalah pangkat genap
c. 2 x 2 x 2 = \((2)^{3}\)

d. -2 x [-2] x [-2] = \((-2)^{3}\)
Karena 2 x 2 x 2 = 8 dan -2 x [-2] x [-2] =-8
maka \((-2)^{3}\) = -\((2)^{3}\), ternyata pangkat 3 adalah pangkat ganjil.

b. Operasi Bilangan Berpangkat
1. Perkalian Bilangan Bulat Berpangkat
Coba perhatikan contoh berikut:
1. \(3^{2}\)= 3 x 3 dan \(3^{3}\)= 3 x 3 x 3
2. \(a^{2}\)= a x a dan \(a^{3}\)= a x a x a
Jawab:
1. \(3^{2}\) x \(3^{3}\)= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = \(3^{5}\)
2. \(a^{2}\) x \(a^{3}\)= a x a x a x a x a = \(a^{5}\)
2. \(a^{m}\) x \(a^{m}\)=  = \(a^{m+n}\)
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Untuk bilangan bulat a berpangkat m dan b, berlaku rumus: \(a^{m} \times a^{n}\) = \(a^{m+n}\)

Contoh Soal
Sederhanakan perkalian berikut:
a. \(3^{4}\) x \(3^{5}\)
b. \(p^{2}\) x \(p^{5}\) x \(p\)
Jawab:
a. \(3^{4}\) x \(3^{5}\) = \(3^{4+5}\)= \(3^{9}\)
b. \(p^{2}\) x \(p^{5}\) x \(p\) = \(3^{2+5+1}\)=\(3^{8}\)

2. Pembagian Bilangan Bulat dan Berpangkat
Coba perhatikan contoh berikut:
\(3^{5}\) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 dan  \(3^{3}\) = 3 x 3 x 3
\(3^{5}\) : \(3^{5}\) =\(\frac{a\times 3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3}\)=\(3^{2}\)=\(3^{5-3}\)
\(a^{m}\)  dan  \(a^{n}\)
\(a3^{m}\) : \(a^{n}\) =\(\frac{a\times a\times …\times a}{a\times a\times …\times a}\)=\(3^{m-n}\)
Untuk m > n, bilangan bulat a berpangkat m dan n berlaku rumus: \(a3^{m}\) : \(a^{n}\)=\(3^{m-n}\)

Contoh Soal:
Sederhanakan pembagian berikut :
1. \(5^{6}\):\(5^{6}\):5
2. \(3^{7}\):\(3^{4}\)x\(3^{2}\)
Jawab:
1. \(5^{6}:5^{6}:5 = 5^{6-4-1}=5^{1}=5\)
2. \(3^{7}:3^{4}\)x\(3^{2}=3^{7-4+2}=3^{5}\)

3. Pemangkatan Bilangan Bulat Berpangkat
Perhatikan uraian berikut ini:
\(4^{2}=4\times 4\)
\((4^{2})^{3}=4^{2}\times 4^{2}\times 4^{2}=4^{3\times 2}=4^{6}\)
\((a^{2})^{3}=a^{2}\times a^{2}\times a^{2}=a^{3\times 2}=a^{6}\)
Dengan memperhatikan pola di atas, diperoleh:
\((a^{m})^{n}=a^{m}\times a^{m}\times…\times  a^{m}=a^{m\times n}\)
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
untuk bilangan bulat berpangkat \(a^{m}\) berpangkat n, berlaku rumus berikut: \((a^{m})^{n}=a^{m\times n}\)

Contoh Soal
\((5^{2})^{5}=5^{2\times 5}\)
\((2^{3}\times 2^{4})^{2}=(2^{3+4})^{2}=(2^{7})^{2}=2^{14}\)
\((3^{5}\div 3^{2})^{4}=(3^{5-2})^{4}=(3^{3})^{4}=3^{12}\)

Operasi Hitung Campuran

Pada operasi hitung campuran bilangan bulat perlu diperhatikan prinsip pengerjaannya
1. Penyelesaian operasi di mulai dari kiri ke kanan
2. Aturan urutan operasinya
a. tanda ( )
b. perkalian atau pembagian
c. penjumlahan atau pengurangan
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
1] 20 – 8 – 5 = 12 – 5 = 7
2] 8 x 3 x 2 = 24 x 2 = 48
3] 8 – 3 + 4 =  5 + 4 = 9
4] 8 : 2 x 3 = 4 x 3 = 12
5] 8 + 10 : 2 = 8 + 5 = 13
6] 15 + 56 : 8 x 2 = 15 + 7 x 2 = 15 + 14 = 29
7] 8 – [5 – 3] = 8 – 2 = 6
8] 4 x [2 + 3] : 10 = 4 x 5 : 10 = 20 : 10 = 2

Demikian contoh soal dan pembahasan sifat-sifat bilangan bulat kelas 7. Semoga bermanfaat.