Contoh dan Penyelesaian Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika SMA Kelas 10

Barisan dan Deret Aritmatika – Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan cara menjumlahkan suatu konstanta pada suku sebelumnya. konstanta tersebut  disebut dengan beda. Suku-suku pada barisan dinyatakan dengan \(U_n\) dan untuk suku pertama dinyatakan dengan U₁ atau a.

Contoh 1
Seorang karyawan toko mendapat gaji pertama sebesar Rp 1.200.000 Setiap bulan Ia mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 25.000 Berapakah jumlah pendapatan yang diterima karyawan toko tersebut dalam waktu 1 tahun?
Penyelesaian:
Diketahui:
a=1.200.000 [ Besaran gaji awal]
b=25.000 [kenaikan tiap bulan yang diperoleh]
n= 12 (dalam 1 tahun ada 12 bulan)
Ditanya: berapa jumlah pendapatan yang diterima (S₁₂) ?
Jawab:
S₁₂=n/2 {2a+(n-1)b}
=12/2 {2(1.200.000)+(12-1)25.000}
=6{2.400.000+11(25.000) }
=6{2.400.000+275.000}
=6(2.675.000)
=16.050.000
Jadi, pendapatan karyawan toko dalam waktu 1 tahun sebesar Rp 16.050.000

Contoh 2
Pak BONI menerima honor pertama sebesar Rp 1.800.000 Setiap tiga bulan gajinya naik sebesar Rp 60.000 Hitunglah jumlah gaji Pak BONI setelah 2 tahun?
Penyelesaian
Diketahui:
a=1.800.000 (gaji awal yang diterima)
b=60.000 (kenaikan gaji tiap 3 bulan)
n = 8 (dalam 2 tahun terdapat 24 bulan sedangkan kenaikan gaji terjadi dalan 3 bulan sekali maka terjadi 8 kali kenaikan gaji selama 2 tahun)
ditanya: Jumlah seluruh gaji Pak BONI selama 2 tahun.
Jawab
$S_n$=n/2 {2a+(n-1)b}
S₈=8/2 {2(1.800.000)+(8-1)60.000}
=4{3.600.000+7(60.000) }
=4{3.600.000+420.000}
=4(4.020.000)
=16.080.000
Jadi, jumlah seluruh gaji Pak BONI selama 2 tahun yaitu Rp 16.080.000

Baca Juga: Sejarah Matematika Secara Singkat

Contoh 3
Rudi menabung setiap bulan di sebuah bank mulai bulan Januari 2016 dan seterusnya. Jika setoran pada bulan pertama menabung sebesar Rp 350.000 dan setiap bulan berikutnya setoran Rudi bertambah Rp 25.000 Hitunglah jumlah uang Rudi sampai akhir tahun 2019?
Penyelesaian
Diketahui:
a=350.000 (setoran awal)
b=25.000 (penambahan setiap bulan pada setoran berikutnya)
n=Januari 2016 – Desember 2019 = 4(12) = 48 bulan
Ditanya: jumlah uang Rudi sampai akhir tahun 2019 ?
Jawab
$S_n$=n/2 {2a+(n-1)b}
S₄₈ =48/2 {2(350.000)+(48-1)25.000}
=24{700.000+47(25.000) }
=24{700.000+1.174.000}
=24{1.875.000}
=45.000.000
Jadi, jumlah uang Rudi sampai akhir tahun 2019 yaitu Rp 45.000.000

Baca Juga: Soal Aplikasi – Barisan dan Deret Geometri SMA Kelas 10

Contoh 4
Suatu keluarga mempunyai enam anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ketiga adalah 7 tahun dan usia anak kelima adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah…
Penyelesaian
Diketahui
n=6 (banyaknya anak dalam keluarga tersebut)
U₃= 7 (usia anak ketiga)
U₅=12 (usia anak kelima)
Ditanya: jumlah usia keenam anak tersebut (S₆)
Untuk mencari jumlah usia keenam anak (S), yang kita perlukan yaitu n, a dan b.
Nilai n telah kita ketahui, namun nilai a dan b belum kita ketahui.
Kita akan mencari nilai a dan b dari U₃ dan U₅
$U_n$=a+(n-1)b
U₃=7
a+(3-1)b=7
a+2b=7 [pers 1]
U₅=12

a+(5-1)b=12
a+4b=14 [pers 2]
Eliminasikan pers 1 dan pers 2
a+2b=7
a+4b=12
—————  –
-2b=-5
b=5/2
Substitusikan b=5/2 ke dalam salah satu persamaan. Akan saya substitusikan kedalam pers 1.
a+2b=7
a+2(5/2)=7
a+5=7
a=2
Karena telah kita peroleh a=2 dan b=5/2 , maka dengan mudah akan kita peroleh jumlah usia keenam anak tersebut.
$S_n$=n/2 {2a+(n-1)b }
S₆=6/2 {2(2)+(6-1)5/2}

=3{4+25/2}
=3{33/2}
=99/2=49,5
Dengan demikian, jumlah usia keenam anak tersebut adalah 49,5 tahunDemikian Contoh dan Penyelesaian Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika SMA Kelas 10. Semoga Bermanfaat.