Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi tentang turunan fungsi aljabar. Pada artikel ini saya hanya menuliskan materi singkat tentang turunan fungsi aljabar dan aplikasinya.
TURUNAN FUNGSI ALJABAR
1. Pengertian turunan fungsi aljabar
Turunan adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f’ yang mempunyai nilai tidak memakai aturan. Sedangkan, pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi.
Turunan fungsi f terhadap x didefinisikan sebagai \(f'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). f'(x) dibaca f aksen x, f'(x) disebut turunan (derivat) pertama dari f(x), dan \(f'(a)=lim_{x \to 0}\frac{f(a+)-f(a)}{h}\) disebut perubahan sesaat atau laju perubahan f(x) di x = a atau turunan f di x = a.
Penulisan turunan y = f(x) dengan notasi Leibniz adalah y’ = dy/dx atau f'(x) = df(x)/dx. Dua notasi lain untuk turunan fungsi adalah \(\frac{d}{dx}f(x)\) dan \(D_{x}(f(x))\). Turunan dari f(x) = cx^n dengan c konstan adalah \(f'(x) = ncx^{n-1}\) atau \(\frac{df(x)}{dx}=ncx^{n-1}\).
2. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar
Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam variabel x, maka sifat-sifat turunan fungsi sebagai berikut.
a. Jika y = c maka y’ = 0 atau dy/dx = 0 dengan c merupakan konstan.
b. Jika y = k . u maka y’ = k . u’ atau dy/dx = k . du/dx, dengan k merupakan konstan.
c. Jika y = u \(\pm \) v maka y’ = u’ \(\pm\) v’ atau dy/dx = du/dx \(\pm \) dv/dx.
d. Jika y = uv maka y’ = uv’ + vu’ atau \(\frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}dx{}\).
e. Jika y = \(u^n\) maka y’ = n . \(u^{n-1}\). u’ atau dy/dx = n . \(u^{n-1}\). du/dx.
f. Jika y = u/v maka \(y’=\frac{uv’-vu’}{v^{2}}\) atau \(\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}\) dengan v#0.
3. Aturan Rantai
Misalkan y=f(u(x)) atau y = (f o u)(x) dengan f dan u adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan. Turunan dari y adalah y’ = f’ (u(x)) . u'(x) atau dy/dx = dy/du . du/dx.
4. Turunan kedua suatu fungsi
Jika f'(x) diturunkan lagi terhadap x, akan diperoleh turunan kedua dari fungsi f(x) terhadap x. Turunan kedua fungsi f(x) ditulis f”(x) atau \(\frac{d^{2}f}{dx^{2}}\). Dengan demikian, \(f”(x)=\frac{df'(x)}{dx}=\frac{d^{2}f}{dx^{2}}\).
Untuk mempelajari perhitungan dalam mencari turunan dari suatu fungsi, Gengs dapat membuka link berikut ini:
1. Soal dan Jawaban Turunan Fungsi
2. Soal dan Pembahasan Turunan [Menggunakan Definisi Turunan]
3. Contoh Soal Matematika SMA Kelas 11–Turunan Lengkap
APLIKASI TURUNAN FUNGSI ALJABAR
Fungsi turunan dapat kita gunakan dalam mengaplikasikan atau menerapkan saat menentukan persamaan garis singgung pada kurva, menentukan suatu fungsi naik atau turun, membantu dalam menggambar grafik, menentukan fungsi marginal dan menentukan nilai limit fungsi.
Kita akan jabarkan secara singkat pengaplikasian turunan.
1. Persamaan garis singgung dan Garis normal pada kurva
Turunan fungsi f(x) di x = a atau f'(a) secara geometri ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di titik (a, f(a)). Dengan demikian, gardien garis singgung pada kurva y=f(x) di titik P(a, f(a)) adalah m = f'(a). Jika di titik (a,b) pada kurva y=f(x), persamaan garis singgung pada kurva y=f(x) di titik (a,b) adalah y-b = f'(a) (x-a).
Garis yang tegak lurus garis singgung kurva y=f(x) di titik (a,b) dinamakan garis normal. Dengan demikian, gradien garis normal di titik (a,b) adalah \(m=-\frac{1}{f'(a)}\). Persamaan garis normal di titik (a,b) pada kurva y=f(x) dirumuskan sebagai \(y-b=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\).
2. Menggambar grafik fungsi aljabar
a. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun
1) Jika x₁ dan x₂ dalam fungsi f(x) memenuhi a<x₁<x₂<b didapat f(x₁) < f(x₂), fungsi dikatakan naik.
2) Jika x₁ dan x₂ dalam fungsi f(x) memenuhi a<x₁ <x₂<b didapat f(x₁) > f(x₂), fungsi dikatakan turun.
Perhatikan gambar berikut ini.
b. Naik turunnya suatu fungsi kontinu f(x) dalam suatu interval tertentu dapat dilihat dari gradien garis singgungnya.
1) Dalam interval x<a, fungsi f(x) merupakan fungsi naik jika gradien garis singgungnya bernilai positif atau f'(x)>0.
2) Dalam interval x>a, fungsi f(x) merupakan fungsi turun jika gradien garis singgungnya bernilai negatif atau f'(x)<0.
3) Fungsi f(x) tidak naik dan tidak turun di x = a jika gradien garis singgungnya nol atau f'(x) = 0.
c. Titik stasioner dan nilai stasioner
Jenis titik stasioner dan nilai stasioner dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
1) Uji turunan pertama untuk menentukan jenis titik dan nilai stasioner.
Misalkan f(x) mempunyai turunan di x=a dan f(a) merupakan nilai stasioner f(x) di x=a.
a) Jika f'(x)>0 untuk x<a, f'(a)=0, dan f'(x)<0 untuk x>a maka (a,f(a)) merupakan titik balik maksimum dan f(a) merupakan nilai maksimum.
b) Jika f'(x)<0 untuk x<a, f'(a)=0, dan f'(x)>0 untuk x>a maka (a,f(a)) merupakan titik balik minimum dan f(a) merupakan nilai minimum.
c) Jika f'(x)<0 untuk x<a, f'(a)=0, dan f'(x)<0 untuk x>a maka (a,f(a)) merupakan titik belok.
d) Jika f'(x)>0 untuk x<a, f'(a)=0, dan f'(x)>0 untuk x>a maka (a,f(a)) merupakan titik belok.
Lihat gambar berikut.
2) Uji turunan kedua untuk menentukan jenis titik dan nilai stasioner.
a) Jika f'(a) = 0 dan f”(a) < 0 maka (a, f(a)) merupakan titik balik maksimum dan f(a) merupakan nilai maksimum.
b) Jika f'(a) = 0 dan f”(a) > 0 maka (a, f(a)) merupakan titik balik minimum dan f(a) merupakan nilai minimum.
c) Jika f'(a) = 0, f'(x) < 0 untuk x<a, dan f”(a)=0 maka (a, f(a)) merupakan titik belok turun.
d) Jika f'(a) = 0, f'(x) > 0 untuk x<a, dan f”(a)=0 maka (a, f(a)) merupakan titik belok naik.
3. Fungsi marginal
a. Biaya marginal (Marginal cost = MC)
Biaya marginal adalah kenaikan atau penurunan biaya total (total cost = TC) karena bertambah atau berkurangnya satu unit barang (x).
MC = ∆TC/∆x
Fungsi biaya marginal merupakan laju perubahan biaya total terhadap jumlah unit barang yang diproduksi.
\(MC(x)=\lim_{\Delta {x \to 0}}\frac{\Delta TC}{\Delta x}=\lim_{\Delta {x \to 0}}\frac{TC(x+\Delta x)-TC(x)}{\Delta x}=\frac{dTC}{dx}\)
Biaya total akan minimum jika MC(x) = 0.
b. Pendapatan marginal (Marginal Revenue = MR)
Pendapatan marginal adalah kenaikan atau penurunan penerimaan total (Total revenue = TR) karena penambahan atau pengurangan satu unit barang (x).
MR = ∆TR / ∆x
TR = xH(x) dengan x adalah jumlah barang yang dijual dan H(x) adalah fungsi harga.
Fungsi pendapatan marginal merupakan laju perubahan penerimaan total terhadap jumlah unit barang yang diproduksi.
\(MR(x)=\lim_{\Delta {x \to 0}}\frac{\Delta TR}{\Delta x}=\lim_{\Delta {x \to 0}}\frac{TR(x+\Delta x)-TR(x)}{\Delta x}=\frac{dTR}{dx}\)
Penerimaan total akan maksimum jika MR(x) = 0.
c. Laba marginal (Marginal profit = MP)
Laba marginal adalah tambahan laba yang diperoleh pada saat jumlah barang yang diproduksi atau dijual diperbesar.
MP = MR – MC
Laba maksimum tercapai jika MP(x) = 0
Oleh karena MP(x) = 0 maka:
MR(x) – MC(x) = 0 <==> dTR/dx – dTC/dx = 0
4. Teorema L’Hopital
Turunan fungsi dapat kita gunakan dalam menghitung bentuk tak tentu pada limit fungsi. Teknik perhitungan bentuk tak tentu pada limit fungsi menggunakan turunan fungsi yang dikenal dengan Teorema L’Hopital.
Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan. Jika:
\(\lim_{{x \to a}}\frac{f(x)}{g(x)}\)
mempunyai bentuk tak tentu 0/0 atau ~/~ di x = a maka:
\(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\).
Jika:
\(\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
masih mempunyai bentuk tak tentu maka proses perhitungan diteruskan menggunakan turunan kedua
\(lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x \to a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f”(x)}{g”(x)},…\)
demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.
Untuk mempelajari materi lebih lanjut tentang aplikasi atau terapan turunan, Gengs dapat membuka link-link berikut.
1. Terapan Turunan – Nilai Maksimum dan Minimum Dan Turunan dan Bentuk Grafik
2. Cara Menentukan Ekstrem Global dan Ekstrem Lokal
3. Turunan – Asimtot dan Masalah Pengoptimuman
4. Aturan Rantai, Turunan Implisit, Turunan Tingkat Tinggi dan Laju Terkait
Demikian penjelasan singkat tentang turunan fungsi aljabar.
Semoga bermanfaat.
