Sebelum kita mengenal lebih jauh tentang rumus aljabar, ada baiknya kita tahu terlebih dahulu apa sihh aljabar itu.
A. APA ITU ALJABAR
Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang ditemukan oleh Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Aljabar telah mulai digunakan oleh matematikawan di sekitar 3500 tahun di masa peradaban Mesopotamia. Istilah aljabar pertamakali muncul dalam buku karangan Al-Khwarizmi yang berjudul The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing.
Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang cangkupannya sangat luas diantaranya teori bilangan, geometri, dan analisis penyelesaiannya. Aljabar itu sendiri mempelajari simbol-simbol dalam matematika dan aturan aturan yang digunakan untuk memanipulasi simbol-simbol tersebut.
Dalam pemecahan sebuah masalah, penggunaan aljabar dapat mempermudah pemecahan masalah dibandingkan menggunakan cara konvensional atau dikenal dengan cara menyatakan permasalahan dengan kata-kata. Aljabar itu sendiri disebut ilmu sedangkan orang yang meneliti aljabar disebut aljabarwan atau algebraist.
B. BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSUR ALJABAR
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam suatu aljabar terdapat unsur-unsur yang memuatnya, Unsur-unsur tersebut diantaranya variabel, koefisien, konstanta. Kita akan membahasnya masing-masing secara singkat.
1. Variabel
Variabel disebut juga dengan peubah. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas Umumnya, variabel disimbolkan dengan huruf kecil.
Perhatikan bentuk aljabar berikut ini: 3x – y + 2x – 7y + 12
Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel atau peubah. Variabel biasanya akan dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z.
2. Koefisien
Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar, berupa sebuah bilangan yang menempel pada variabel/peubah.
Perhatikan bentuk aljabar berikut ini: 3x – y + 2x – 7y + 12
Koefisien pada suku 3x adalah 3, pada suku -y adalah -1, pada suku 2x adalah 2, dan pada suku –-7y adalah –7. Jadi, bilangan 3, -1, 2 dan -7 pada bentuk aljabar di atas disebut koefisien.
3. Konstanta
Perhatikan bentuk aljabar berikut: 2x+54+7
Bilangan 7 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.
Informasi tambahan:
Jika suatu bilangan 6 dapat diubah menjadi 6 = 2 x 3 dengan 6, 2, 3 bilangan bulat, maka 2 dan 3 disebut faktor-faktor dari 6.
Perhatikan bentuk aljabar berikut: 12y
Pada bentuk aljabar tersebut, 12y dapat diuraikan sebagai 12y = 12 x y atau 12y = 1 x 12y.
Dengan demikian, faktor-faktor dari 12y adalah 1, 12, y, dan 12y.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Terdapat berbagai macam bentuk aljabar, diantaranya:
Suku satu. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contohnya : 5x, 4y2, 5p
Suku dua. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contohnya: 4x+3y, p+3r, x2+7
Suku tiga. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contohnya : 2a+4b+3, x+9y+2z
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.
Suku-suku bentuk aljabar dibedakan menjadi suku sejenis dan suku tak sejenis. Suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama. Suku tidak sejenis adalah suku-suku yang tidak mempunyai variabel yang sama.
Contoh dari suku-suku yang sejenis adalah: 5x dan –2x, 3a² dan a², y dan 4y, …
Sedangkan contoh dari suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3×2, –y dan –x3, 5x dan –2y, …
C. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR
Operasi aljabar pada umumnya hampir sama dengan operasi hitung bilangan bulat. Berikut ini rumus aljabar yang digunakan dalam operasi hitung aljabar.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku sejenis.
Contoh: Sederhanakan bentuk aljabar 2x + 3y + 7x – 2y
Penyelesaian:
Solusi: urutkan suku-suku yang sejenis
2x + 3y + 7x – 2y
= 2x + 7x + 3y – 2y
= (2x + 7x) + (3y – 2y)
= 9x + y
Jadi, bentuk sederhana dari 2x + 3y + 7x – 2y adalah 9x + y
2. Perkalian Bentuk Aljabar
Pada perkalian bilangan bulat akan berlaku sifat distributif.
Rumus distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
Rumus distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a x (b – c) = (a x b) – (a x c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
Rumus perkalian 1 suku dengan 2 suku
x(a+b) = ax+bx
Rumus perkalian 2 suku dengan 2 suku
(x+y)(x+y) = x² + xy + xy + y² = x² + 2xy + y²
Perkalian dengan konstanta dilakukan dengan mengalikan nilai koefisien masing-masing variabel yang dioperasikan sedangkan perkalian dengan variabel dilakukan secara menyeluruh, baik koefisien maupun variabelnya.
Perhatiaka beberapa contoh berikut ini:
1.2y × 3 = 6y
2. 3y + x × 4 = (3y × 4) + (x × 4) = 12y + 4x
3. 2yz × 7 = 14yz
4. y × 3y = 3y²
5. x² × x = x²⁺¹ = x³
6. 2yz × y = 2y2z
7. (2x + 1) y = (2x × y) + (1 × y) = 2xy + y
3. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal.
Contoh:
1. (2x)³ = 2³ x³ = 8x³
2. (2y)⁴ = 2y x 2y x 2y x 2y = 16y⁴
Perhatikan rumus aljabar perpangkatan berikut ini.
4. Pembagian Bentuk Akar
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Untuk mempermudah operasi pembagian aljabar, dilakukan dengan cara mengubah ke bentuk pecahan.
Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Pembagian variabel dengan konstanta
9x : 3 = 9x/3 = 3x
2. Pembagian variabel dengan variabel
3x/x = 3 x (x/x) = 3 x 1 = 3
D. PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Sebuah pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk pecahan aljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya lalu menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.
b. Perkalian dan pembagian
Operasi perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan.
c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama.
Aljabar sendiri terdiri dari beberapa jenis, salah satunya adalah aljabar linier. Aljabar linier merupakan jenis aljabar yang membahas mengenai sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Akan kita bahas secara singkat mengenai sistem persamaan linear yang dimaksud.
Sistem Persamaan Linear
Dalam suatu sistem persamaan linear terdiri dari persamaan-persamaan linear yang dihubungkan untuk membentuk suatu sistem. Sistem persamaan linear dapat berisi dua variabel bahkan lebih.
Contoh dari sistem persamaan linear yaitu:
2x+y = 12
3x+4y=18
Bagaimana Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear tersebut.
Ada beberapa metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, diantaranya metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi dan metode eliminasi-substitusi.
Berikut ini penjelasan singkat mengenaik metode-metode berikut.
1. Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode grafik dikerjakan dengan cara menggambar bentuk kurva dari masing-masing persamaan linear. Titik perpotongan dari garis/kurva tersebutlah yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear.
2. Metode eliminasi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi yaitu apabila kita ingin mencari penyelesaian dari suatu variabel maka kita mengeliminasi variabel yang lain, misal terdapat dua variabel x dan y dalam suatu sistem persamaan linear, maka jika kita mencari nilai x maka kita harus mengeliminasi y, dan sebaliknya.
3. Metode subtitusi
Misalkan terdapat suatu sistem persamaan linear yang memuat variabel x dan y, maka penyelesaian menggunakan metode subtitusi adalah dengan cara mengubah salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi terlebih dahulu, yaitu x sebagai fungsi atas y atau sebaliknya. Kemudian subtitusikan persamaan tersebut ke persamaan yang lain hingga kemudian diperoleh nilai x dan y.
4. Metode eliminasi-subtitusi
Metode ini merupakan metode gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi dalam menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear.
Untuk berlatih mengerjakan soal tentang aljabar, Gengs bisa membuka tautan berikut:
1. Soal Aljabar Beserta Pembahasan-Lengkap
2. Aljabar Lengkap dengan Contoh Soal dan pembahasannya
3. Contoh Soal dan Jawaban Tentang Bentuk Aljabar
Demikian Pengertian dan Rumus Aljabar Secara Umum. Semoga Bermanfaat.
