Hallo Gengs 🙌😁 Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee
Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi tips atau cara-cara yang dapat digunakan untuk mencari nilai determinan suatu matriks.
Namun sebelumnya berikut ini merupakan link-link yang Gengs dapat gunakan untuk mempelajari apa itu determinan suatu matriks. Diantaranya :
1. Rangkuman Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan
2. Matriks – Metode Minor Kofaktor
3. Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi
Setelah mempelajari materinya, berikut ini merupakan contoh serta cara menentukan determinan suatu matriks.
Minor-Kofaktor
Pertama. Cara pertama yaitu dengan metode minor-kofaktor
catatan:
Misalkan A merupakan matriks segi berukuran n x n
Jika n = 1 maka determinan dari matriks A [det(A)] = $a_{11}$
Jika n > 1 [lebih dari satu] maka determinan dari matriks A yaitu
1. saat i merupakan bilangan sembarang, $sum_{j=1}^{n}a_{ij}alpha _{ij}$. i merupakan baris dan j merupakan kolom.
2. saat j merupakan bilangan sembarang, $sum_{i=1}^{n}a_{ij}alpha _{ij}$. i merupakan baris dan j merupakan kolom
Catatan:
misalkan $A=begin{pmatrix} a_{ij} end{pmatrix}$ adalah matriks n x n, maka:
a. $M_{ij}$ adalah minor elemen $a_{ij}$ yaitu determinan anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
b. Kofaktor $A_{ij}$ dari $a_{ij}$ didefinisikan sebagai $alpha _{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$.
Contoh:
Tentukan determinan matriks A berikut ini.
$A=begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \ 1 &3 &2 \ 0 &-3 &1 end{pmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal tersebut, mari perhatikan catatan di atas. Pada catatan di atas, apabila n-nya lebih dari 1 [ukuran matriks] maka kita bisa gunakan (1) atau (2). Pada contoh pertama ini akan saya gunakan (1). Apabila menggunakan cara (1) maka kita harus tentukan sembarang i [baris matriks], pada contoh ini saya gunakan baris ke-2.
Sehingga, berikut ini adalah jawabannya.
det(A) = $sum_{j=1}^{3}a_{2j}alpha _{2j}$
det(A) = $a_{21}alpha _{21}+a_{22}alpha _{22}+a_{23}alpha _{23}$
Selanjutnya kita mesti mengetahui nilai alfa-nya denga cara seperti pada catatan di atas:
1. $alpha _{21}=(-1)^{2+1}M_{21}$
$alpha _{21}=-begin{vmatrix} -2 &1 \ -3& 1 end{vmatrix}$
$alpha _{21}=-[(-2)(1)-(-3)(1)]=-1$
2. $alpha _{22}=(-1)^{2+2}.M_{22}$
$alpha _{22}=begin{vmatrix} 3 &1 \ 0& 1 end{vmatrix}$
$alpha _{22}=[(3)(1)-(0)(1)]=3$
3. $alpha _{23}=(-1)^{2+3}.M_{23}$
$alpha _{23}=-begin{vmatrix} 3 &-2 \ 0 &-3 end{vmatrix}$
$alpha _{23}=-[(3)(-3)-(0)(-2)]=9$
Sedangkan untuk nilai a-nya diperoleh dari matriks A, dimanya:
$a_{21}=1$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-1)
$a_{22}=3$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-2)
$a_{23}=2$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-3)
Langkah terakhir yaitu masukkan nilai alfa dan a yang telah diperoleh ke rumus det(A) tersebut,
det(A) = (-1)(1) + (3)(3) + (9)(2) = 26
CATATAN
- Dalam pemilihan baris atau kolom yang digunakan tidak perlu dipersoalkan karena akan menghasilkan determinan yang sama.
- Lebih mudah untuk menggunakan baris atau kolom yang mempunyai elemen nol.
- Untuk matrika berukuran sama diproses dengan cara yang sama.
Menggunakan Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = $det(A^{T})$
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 4 &5 &6 \ 7 & 8& 9 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &4 &7 \ 2 &5 &8 \ 3 &6 &9 end{pmatrix}$
2. Jika 2 baris atau kolom matrils A dipertukarkan maka diperoleh matriks B.
det(B) = – det (A)
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 4 &5 &6 \ 7 & 8& 9 end{pmatrix}=-begin{pmatrix} 4 &5 &6 \ 1 &2 &3 \ 7 &8 &9 end{pmatrix}=$
3. Jika suatu baris atau kolom digandakan dengan skalar k sehingga didapat matriks B.
det(B) = k det(A)
CONTOH
$begin{pmatrix} 2 &4 &6 \ 4 &5 &6 \ 7 & 8& 9 end{pmatrix}=2begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 4 &5 &6 \ 7 &8 &9 end{pmatrix}$
4. Jika suati baris atau kolom matriks A ditambah dengan k kali baris atau kolom lainnya sehingga didapat matriks B
det(A) = det (B)
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 2 &1 &2 \ 4 & 5& 6 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 4 &5 &8 \ 4 &5 &6 end{pmatrix}$
Baris kedua matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan antara baris pertama yang dikali dua dengan baris keduanya.
5. Jika ada satu baris atau kolom yang semua elemennya nol maka det(A) = 0
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 0 &0 &0 \ 4 & 5& 6 end{pmatrix}=0$
$begin{pmatrix} 0 &2 &3 \ 0 &4 &2 \ 0 & 5& 6 end{pmatrix}=0$
6. Juka ada satu baris atau kolom yang merupakan kelipatan dari baris atau kolom maka det(A) =0
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 2 &4 &6 \ 7 & 8& 9 end{pmatrix}=0$
$begin{pmatrix} 1 &2 &5 \ 2 &4 &7 \ 3 &6 & 8 end{pmatrix}=0$
7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah maka determinan merupakan perkalian unsur-unsur diagonal utamanya.
CONTOH
$begin{pmatrix} 1 &2 &5 \ 0 &4 &7 \ 0 &0 & 8 end{pmatrix}=(1)(4)(8)=32$
$begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 9 &2 &0 \ 3 &4 & 8 end{pmatrix}=(1)(2)(8)=16$
8. Jika matriks segi A dan Segi B memiliki ukuran yang sama maka det(AB) = det(A) det(B)
CONTOH
$A=begin{pmatrix} 3 &1 \ 2 &1 end{pmatrix}$
det(A) = (3)(1) – (2)(1) =1
$B=begin{pmatrix} -1 &3 \ 5 &8 end{pmatrix}$
det(B) = (-1)(8) – (5)(3) = -23
$AB=begin{pmatrix} 3&1 \ 2 &1 end{pmatrix}begin{pmatrix} -1 &3 \ 5 &8 end{pmatrix}$
$AB=begin{pmatrix} 3(-1)+1.5&3.3+1.8 \ 2(-1)+1.5 &2.3+1.8 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 2 &17 \ 3 & 14 end{pmatrix}$
det(AB) = (2)(14) – (3)(17) = -23
Menggunakan Operasi Baris Dasar
Contoh:
Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan operasi baris dasar (OBD) berikut ini.
$A=begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 1 &1 &4 \ 2 &1 &2 end{pmatrix}$
Jawaban:
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 1 &1 &4 \ 2 &1 &2 end{pmatrix}rightarrow ^{E_{21(-1)}}begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 0 &-1 &1 \ 2 &1 &2 end{pmatrix}$
$rightarrow ^{E_{31(-2)}}=begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 0 &-1 &1 \ 0 &-3 & -4 end{pmatrix}$
det(A) = (1)(-1)(-7) = 7
Untuk berlatih lebih banyak soal tentang matriks, Gengs dapat membuka link-link berikut ini:
1. Contoh Soal Matriks Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Dan Campuran – Plus Jawabannya
2. Contoh Soal Matriks Invers dan Pembahasan3. Contoh Soal Matriks dan Operasinya + Penyelesaiannya
Demikian contoh-contoh soal dan pembahasannya.
Semoga bermanfaat
