Soal dan Jawaban Limit dan Kekontinuan dan Teorema Apit

Langsung saja, berikut ini adalah contoh-contoh soal beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika tidak ada maka berikan alasannya.
$1. lim_{xrightarrow 2}frac{x^{2}-3x+2}{x-2}$
$2. lim_{xrightarrow 0}frac{100}{left | x right |}$

Jawab:
1. Diperoleh
$lim_{xrightarrow2 }frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=lim_{xrightarrow2 }frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=lim_{xrightarrow 2}(x-1)=1$

2. Diperoleh
Karena
$left | x right |=left{begin{matrix} x &;xgeq 0 \ -x & ;x< 0 end{matrix}right.$
maka:
$lim_{xrightarrow 0^{+}}frac{100}{left | x right |}=lim_{xrightarrow 0^{+}}frac{100}{x}=+infty$
$lim_{xrightarrow 0^{-}}frac{100}{left | x right |}=lim_{xrightarrow 0^{-}}frac{100}{-x}=+infty$
Sehingga:
$lim_{xrightarrow 0}frac{100}{left | x right |}=+infty$

Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:
$f(x)=left{begin{matrix} x^{2} &;xleq a \ 2x+3 & ;x> a end{matrix}right.$
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
$f(a)=a^{2}$
$lim_{xrightarrow a^{+}}f(x)=lim_{xrightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3$
$lim_{xrightarrow a^{-}}f(x)=lim_{xrightarrow a^{-}}x^{2}=a^{2}$
Agar f kontinu di x = a maka haruslah
$a^{2}=2a+3Leftrightarrow a^{2}-2a-3 =0Leftrightarrow (a-3)(a+1)Leftrightarrow a=3 ; a=-1$

Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jika ada:
$lim_{xrightarrow 25}left ( 2001+frac{x-25}{sqrt{x}-5} right )$

Jawab:
$lim_{xrightarrow 25}left ( 2001+frac{x-25}{sqrt{x}-5} right )=lim_{xrightarrow 25}2001+lim_{xrightarrow 25}frac{(x-25)}{sqrt{x}-5}.frac{sqrt{x}+5}{sqrt{x}+5}$
$=2001 +lim_{xrightarrow 25}frac{(x-25)(sqrt{x}+5)}{x-25}$
$=2001 +lim_{xrightarrow 25}sqrt{x}+5=2001+5+5=2011$

Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a) $lim_{xrightarrow 1}(x^{11}+2009)$

Jawab:
$lim_{xrightarrow 1}(x^{11}+2009)=1+2009=2010$

b) $lim_{xrightarrow 1}sqrt{x-1}$

Jawab:
$lim_{xrightarrow 1}sqrt{x-1}$ tidak mempunyai limit karena $sqrt{x-1}$ tidak terdefinisi di x < 1.

c) $lim_{xrightarrow -2^{+}}frac{4+x-x^{2}}{2+x}$

Jawab:
$lim_{xrightarrow -2^{+}}frac{4+x-x^{2}}{2+x}=lim_{xrightarrow -2^{+}}(3-frac{2}{x+2}-x)=-infty$

d) $lim_{xrightarrow 2}sqrt{2-x}$

Jawab:
Misalkan $f(x)=sqrt{2-x}$, maka f terdefinisi bila 2 – x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga $lim_{xrightarrow 2^{+}}sqrt{2-x}$ tidak ada. Akibatnya $lim_{xrightarrow 2^{+}}sqrt{2-x}$ tidak ada.

Bagian 5
Diketahui:
$f(x)=left{begin{matrix} -2 &;-4leq xleq -1 \ x-1 &;-1< xleq 0 \ x^{2} & x> 0 end{matrix}right.$
Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:
$lim_{xrightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{xrightarrow 0^{-}}(x-1)=-1$
$lim_{xrightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{xrightarrow 0^{+}}x^{2}=0$
karena -1 # 0 maka limit $lim_{xrightarrow 0}f(x)$ tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:
$lim_{xrightarrow -1^{-}}f(x)=lim_{xrightarrow -1^{-}}(-2)=-2$
$lim_{xrightarrow -1^{+}}f(x)=lim_{xrightarrow -1^{+}}(x-1)=-2$
sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:
$lim_{xrightarrow 1^{-}}f(x)=1;lim_{xrightarrow 1^{+}}f(x)=2; lim_{xrightarrow -1^{+}}f(x)=2$
Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan $lim_{xrightarrow 3^{-}}f(x)$ beserta alasannya

Jawab:
a) f (-1) = 2 karena f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga $lim_{xrightarrow -1^{+}}f(x)=2=f(-1)$
b) $lim_{xrightarrow 3^{-}}f(x)=2$ karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga $lim_{xrightarrow 3^{-}}f(x)=2=f(3)$

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) – cos x| =< g(x) -5. Jika $lim_{xrightarrow 0}g(x)=5$ maka dengan menggunakan Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan $lim_{xrightarrow 0}f(x)$.

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) – cos x| =< g(x) -5
<==> – (g(x) – 5) =< f(x) – cos x =< g(x) -5
<==> 5 – g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) – 5 + cos x
Karena $lim_{xrightarrow 0}g(x)=5$ maka:
$lim_{xrightarrow 0}(5-g(x)+cos x)=lim_{xrightarrow 0}(-g(x))+lim_{xrightarrow 0}5+lim_{xrightarrow 0}cos x=1$
$lim_{xrightarrow 0}(g(x)-5+cos x)=lim_{xrightarrow 0}g(x)+lim_{xrightarrow 0}5+lim_{xrightarrow 0}cos x=1$
sehingga menurut Teorema Apit $lim_{xrightarrow 0}f(x)=1$

Bagian 8
Dengan menggunakan Teorema Apit, hitunglah:
$lim_{xrightarrow 0}x^{2}left | frac{sin x}{x} right |$

Jawab:
Diperoleh:
$-1leq sin xleq 1Leftrightarrow 0leq left | sinx right |leq 1$
$Leftrightarrow 0leq left | frac{sin x}{x}right |leq frac{1}{left | x right |}$
$Leftrightarrow 0leq x^{2} left | frac{sin x}{x}right |leq frac{x^{2}}{left | x right |}$
Karena $lim_{xrightarrow 0}0=0$ dan
$lim_{xrightarrow 0^{+}}frac{x^{2}}{left | x right |}=lim_{xrightarrow 0^{+}}frac{x^{2}}{ x}=lim_{xrightarrow 0^{+}}x=0$
$lim_{xrightarrow 0^{-}}frac{x^{2}}{left | x right |}=lim_{xrightarrow 0^{-}}frac{x^{2}}{ -x}=lim_{xrightarrow 0^{-}}-x=0$
sehingga, $lim_{xrightarrow 0}frac{x^{2}}{left | x right |}=0$ maka menurut Teorema Apit dapat disimpulkan bahwa:
$lim_{xrightarrow 0}x^{2}left | frac{sin x}{x} right |=0$

Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi $left | x^{2}f(x)+1 right |leq sin^{2}(x-2)$ untuk semua x adalah bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan $lim_{xrightarrow 2}f(x)$

Jawab:
$left | x^{2}f(x)+1 right |leq sin^{2}(x-2)$
$Leftrightarrow -sin ^{2}(x-2)leq f(x)+1leq sin ^{2}(x-2)$
$Leftrightarrow -sin^{2}(x-2)-1leq x^{2}f(x)leq sin^{2}(x-2)-1$
$Leftrightarrow frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}leq f(x)leq frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
Karena
$lim_{xrightarrow 2}frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}=-frac{1}{4}=lim_{xrightarrow 2} frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh:
$lim_{xrightarrow 2}f(x)=-frac{1}{4}$