Hallo Gengs. Pada kesempatan ini saya akan berbagi tentang contoh soal matematika kelas 11. Pada
soal matematika kelas 11 ini akan saya fokuskan pada materi tentang turunan. Materi yang harus Gengs kuasai yaitu tentang fungsi dan limit fungsi.
Untuk menunjang pemahaman tentang limit fungsi, Gengs dapat mempelajari beberapa link berikut ini.
Tanpa basa-basi, berikut soal matematika SMA kelas 11 tentang turunan.
Soal 1
Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung fungsi f(x)=3x²-2x+1.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep limit fungsi, berikut gradien garis singgungnya.
Soal 2
Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung fungsi f(x)=2/x.
Rumus yang digunakan untuk menghitung gradiennya sebagai berikut.
Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung fungsi f(x)=2/x.
Rumus yang digunakan untuk menghitung gradiennya sebagai berikut.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep limit fungsi, berikut gradien garis singgungnya.
Soal 3
Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x=4 pada kurva f(x)=x².
Penyelesaian:
Diketahui
x₁=4
y₁=x²=4²=16
dengan demikian titik singgungnya adalah (x₁,y₁)=(4,16)
Ditanya: persamaan garis singgung??
Untuk memperoleh persamaan garis singgung, pertama-tama kita cari gradient garis singgungnya.
Rumus yang digunakan untuk menghitung gradiennya sebagai berikut.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah:
y₂-y₁=m(x₂-x₁)
y₂-16=8(x₂-4)
y₂-16=8x₂-32
y₂-8x₂+16=0
y₂-y₁=m(x₂-x₁)
y₂-16=8(x₂-4)
y₂-16=8x₂-32
y₂-8x₂+16=0
Pelajari juga:
Soal 4
Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik dengan absis x=1 pada kurva f(x)=2/x².
Penyelesaian
Diketahui:
x₁=1
y₁=2/x²=1/1²=1
dengan demikian titik singgungnya adalah (x₁,y₁)=(1,1)
Ditanya: persamaan garis singgung dan persamaan garis normal ?
Untuk memperoleh persamaan garis singgung, pertama-tama kita cari gradient garis singgungnya.
Rumus yang digunakan untuk menghitung gradiennya sebagai berikut.
Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik dengan absis x=1 pada kurva f(x)=2/x².
Penyelesaian
Diketahui:
x₁=1
y₁=2/x²=1/1²=1
dengan demikian titik singgungnya adalah (x₁,y₁)=(1,1)
Ditanya: persamaan garis singgung dan persamaan garis normal ?
Untuk memperoleh persamaan garis singgung, pertama-tama kita cari gradient garis singgungnya.
Rumus yang digunakan untuk menghitung gradiennya sebagai berikut.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah:
y₂-y₁=m(x₂-x₁)
y₂-1=2(x₂-1)
y₂-1=2x₂-2
y₂-2x₂+1=0
Sedangkan persamaan garis normalnya adalah:
y₂-y₁=-1/m(x₂-x₁)
y₂-1=-1/2(x₂-1)
y₂-1=-1/2x₂+1/2
y₂-(1/2)x₂-3/2=0
y₂-y₁=m(x₂-x₁)
y₂-1=2(x₂-1)
y₂-1=2x₂-2
y₂-2x₂+1=0
Sedangkan persamaan garis normalnya adalah:
y₂-y₁=-1/m(x₂-x₁)
y₂-1=-1/2(x₂-1)
y₂-1=-1/2x₂+1/2
y₂-(1/2)x₂-3/2=0
Soal 5
Tentukan persamaan garis singgung kurva y=f(x)=(x+2)⁻⁹ di titik (-1,1).
Penyelesaian
Langkah 1. Menentukan titik singgung
Misalkan x₁=-1 dan y₁=1
Karena f(-1)=(-1+2)⁻⁹=1 maka titik (-1,1) berada pada kurva.
Langkah 2. Mencari gradient garis singgung
Cari dahulu turunan pertamanya di fungsi tersebut.
f(x)=(x+2)⁻⁹
f’(x)=(-9)(x+2)⁻¹⁰
Langkah 3. Menentukan persamaan garis singgung
Diketahui gradient garis singgung di titik (-1,1) maka
f’(x)=(-9)(x+2)⁻¹⁰
f’(-1)=(-9)(-1+2)⁻¹⁰=-9
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah..
y-y₁ = m(x-x₁)
y-1=-9(x-(-1))
y-1=-9(x+1)
y-1=-9x-9
y+9x+8=0
Soal 6
Tentukan persamaan garis singgung kurva y=f(x)= √(2x²+1) di titik (-2,3).
Penyelesaian
Langkah 1. Menentukan titik singgung
Misalkan x₁=-2 dan y₁=3
Karena f(-2)=√(2.(-2)²+1)=√9=3 maka titik (-2,3) berada pada kurva.
Langkah 2. Mencari gradien garis singgung
Cari dahulu turunan pertamanya di fungsi tersebut.
f(x)= √(2x²+1)
f(x)= \((2x²+1)^½\)
f’(x)=(½)(4x)\((2x²+1)⁻^½\)
Langkah 3. Menentukan persamaan garis singgung
Diketahui gradient garis singgung di titik (-2,3) maka
f’(x)=(½)(4x)\((2x²+1)⁻^½\)
=(2x)\((2x²+1)⁻^½\)
f’(-2)=(2(-2)) \((2(-2)²+1)⁻^½\)
=(-4) \((9)⁻^½\)
=(-4)(⅓)
=-4/3
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah..
y-y₁ = m(x-x₁)
y-3=-4/3(x-(-2))
y-3=-4/3(x+2)
y-3=(-4/3)x-(8/3)
3y-9=-4x-8
3y+4x-1=0
Soal 7
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=x⁻³
Penyelesaian
f(x)=x⁻³
f’(x)=(-3)x⁻³⁻¹=(-3)x⁻⁴
Soal 8
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=(3x-2)⁻²
Penyelesaian
Misalkan u(x)=3x-2 sehingga u’(x)=3
Dengan demikian,
f(x)=(3x-2)⁻² menjadi (u(x))⁻² sehingga
f’(x)=(-2)(u(x))⁻²⁻¹ u’(x)
f’(x)=(-2)(3x-2)⁻²⁻¹ (3) = (-6)(3x-2)⁻³
Soal 9
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=x²(2x+1)⁵
Penyelesaian
Misalkan:
u(x)=x² sehingga u’(x)=2x
v(x)= (2x+1)⁵ sehingga v’(x)=5(2x+1)⁴(2)=10(2x+1)⁴
Dengan demikian,
f’(x)=u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
=(2x)((2x+1)⁵) + x² (10(2x+1)⁴)
=2x (2x+1)⁵ + 10x² (2x+1)⁴
=(2x+1)⁴ (2x(2x+1) + 10x²)
=(2x+1)⁴ (4x²+2x) + 10x²)
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=x²(2x+1)⁵
Penyelesaian
Misalkan:
u(x)=x² sehingga u’(x)=2x
v(x)= (2x+1)⁵ sehingga v’(x)=5(2x+1)⁴(2)=10(2x+1)⁴
Dengan demikian,
f’(x)=u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
=(2x)((2x+1)⁵) + x² (10(2x+1)⁴)
=2x (2x+1)⁵ + 10x² (2x+1)⁴
=(2x+1)⁴ (2x(2x+1) + 10x²)
=(2x+1)⁴ (4x²+2x) + 10x²)
Soal 10
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=(2x-1)/(x+1)
Penyelesaian
Misalkan:
u(x)=2x-1 maka u’(x)=2
v(x)=x+1 maka v’(x)=1
Dengan demikian,
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x) v^(x))/(v(x))^2
=(2(x+1)-(2x-1)(1))/(x+1)^2
=(2x+2-2x+1)/(x+1)^2
=3/((x+1)²)
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=(2x-1)/(x+1)
Penyelesaian
Misalkan:
u(x)=2x-1 maka u’(x)=2
v(x)=x+1 maka v’(x)=1
Dengan demikian,
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x) v^(x))/(v(x))^2
=(2(x+1)-(2x-1)(1))/(x+1)^2
=(2x+2-2x+1)/(x+1)^2
=3/((x+1)²)
Soal 11
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=2x²(-3x+1)⁵
Penyelesaian
Misalkan
u(x)=2x² maka u’(x)=4x
v(x)=(-3x+1)⁵ maka v’(x)=(5)(-3)(-3x+1)⁴=-15(-3x+1)⁴
f’(x)=u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
= (4x) (-3x+1)⁵ + 2x² ( -15(-3x+1)⁴)
= (4x) (-3x+1)⁵ – (30x²)(-3x+1)⁴
Dengan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=2x²(-3x+1)⁵
Penyelesaian
Misalkan
u(x)=2x² maka u’(x)=4x
v(x)=(-3x+1)⁵ maka v’(x)=(5)(-3)(-3x+1)⁴=-15(-3x+1)⁴
f’(x)=u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
= (4x) (-3x+1)⁵ + 2x² ( -15(-3x+1)⁴)
= (4x) (-3x+1)⁵ – (30x²)(-3x+1)⁴
Pelajari juga:
Soal 12
Tentukan turunan kedua dari fungsi f(x)=(3x⁴-2)²
Penyelesaian
f(x)=(3x⁴-2)²
f’(x)=(2)(12x³)(3x⁴-2)
=(24x³)(3x⁴-2)
=72x⁷-48x³
f’’(x)=(72)(7)x⁶ – (48)(3)x²
=154x⁶ – 144x²
Soal 13
Tentukan turunan kedua dari fungsi f(x)=(2x)/(x+1)
Penyelesaian
f(x)=(2x)/(x+1)
misalkan
u(x)=2x maka u’(x)=2
v(x)=x+1 maka v’(x)=1
Dengan demikian,
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x) v'(x))/(v(x)²)
Tentukan turunan kedua dari fungsi f(x)=(2x)/(x+1)
Penyelesaian
f(x)=(2x)/(x+1)
misalkan
u(x)=2x maka u’(x)=2
v(x)=x+1 maka v’(x)=1
Dengan demikian,
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x) v'(x))/(v(x)²)
=(2(x+1)-(2x)(1))/(x+1)²
=(2x+2-2x)/(x+1)²
=2/((x+1)²)
f’’(x)=2(x+1)⁻²=(2)(-2)(x+1)⁻³ =(-4)(x+1)⁻³
=(2x+2-2x)/(x+1)²
=2/((x+1)²)
f’’(x)=2(x+1)⁻²=(2)(-2)(x+1)⁻³ =(-4)(x+1)⁻³
Soal 14
Tentukan titik balik fungsi f(x)=x²-2x
Penyelesaian
Pada penyelesaian bagian 1 ini kita akan kerjakan berdasarkan konsep fungsi turunan.
f(x)=ax²+bx+c mempunyai titik balik (-b/2a , -D/4a) dimana fungsi mencapai maksimum untuk a<0 dan mencapai minimum untuk a>0.
Jawab:
f(x)=x²-2x dengan:
a=1,
b=-2,
c=0,
D= b²-4ac=(-2)²-4(1)(0)=4
Titik balik dari fungsi f(x)=x²-2x adalah (-(-2)/2(1) , (-4)/4(1))=(2/2 , -4/4)=(1,-1)
Pada fungsi f(x)=x²-2x, a>0 maka titik balik fungsi tersebut adalah minimum di (1,-1)
Soal 15
Tentukan titik balik fungsi f(x)=x³-6x²-9x+1
Penyelesaian
Pada soal ini kita akan kerjakan dengan konsep turunan.
Berikut penyelesaiannya:
Pertama-tama kita cari titik stasionernya.
Fungsi f(x)=x³-6x²+9x+1
f’(x)=3x²-12x+9
=3(x-3)(x-1)
x=3 dan x=1
Kemudian, untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, akan kita uji titik stasioner pada turunan kedua fungsi.
f(x)=x³-6x²+9x+1
f’(x)=3x²-12x+9
f’’(x)=6x-12
x=3 maka f’’(x)=6(3)-12=18-12=6>0
x=1 maka f’’(x)=6(1)-12=-6<0
Titik (3,6) adalah titik balik minimum
Titik (1,-6) adalah titik balik maksimum
Tentukan titik balik fungsi f(x)=x³-6x²-9x+1
Penyelesaian
Pada soal ini kita akan kerjakan dengan konsep turunan.
Berikut penyelesaiannya:
Pertama-tama kita cari titik stasionernya.
Fungsi f(x)=x³-6x²+9x+1
f’(x)=3x²-12x+9
=3(x-3)(x-1)
x=3 dan x=1
Kemudian, untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, akan kita uji titik stasioner pada turunan kedua fungsi.
f(x)=x³-6x²+9x+1
f’(x)=3x²-12x+9
f’’(x)=6x-12
x=3 maka f’’(x)=6(3)-12=18-12=6>0
x=1 maka f’’(x)=6(1)-12=-6<0
Titik (3,6) adalah titik balik minimum
Titik (1,-6) adalah titik balik maksimum
Soal 16
Tentukan titik balik fungsi f(x)=x⁴-x²
Penyelesaian
Pertama mari kita tentukan titik stasioner.
f(x)=x⁴-x²
f’(x)=4x³-2x=0
2x(x²-1)=0
x=0 atau x=1 atau x=-1
Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, akan kita uji titik stasionernya kedalam turunan kedua fungsi tersebut dengan cara berikut.
f(x)=x⁴-x²
f’(x)=4x³-2x
f’’(x)=12x²-2
f’’(x)=12x²-2
untuk x=0
f’’(0)=12(0²)-2=-2<0
untuk x=1
f’’(1)=12(1²)-2=10>0
untuk x=-1
f’’(-1)=12(-1²)-2=10
Titik (0,-2) merupakan titik balik maksimum
Titik (-1,10) merupakan titik balik minimum
Tentukan titik balik fungsi f(x)=x⁴-x²
Penyelesaian
Pertama mari kita tentukan titik stasioner.
f(x)=x⁴-x²
f’(x)=4x³-2x=0
2x(x²-1)=0
x=0 atau x=1 atau x=-1
Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, akan kita uji titik stasionernya kedalam turunan kedua fungsi tersebut dengan cara berikut.
f(x)=x⁴-x²
f’(x)=4x³-2x
f’’(x)=12x²-2
f’’(x)=12x²-2
untuk x=0
f’’(0)=12(0²)-2=-2<0
untuk x=1
f’’(1)=12(1²)-2=10>0
untuk x=-1
f’’(-1)=12(-1²)-2=10
Titik (0,-2) merupakan titik balik maksimum
Titik (-1,10) merupakan titik balik minimum
Soal 17
Tentukan titik belok fungsi f(x)=x²+3x
Penyelesian
f’(x)=2x+3
f’’(x)=2
Nilai f(2)=2²+3(2)=4+6=10
Jadi, nilai titik belok fungsi tersebut adalah (2,10)
Soal 18
Tentukan titik belok fungsi f(x)=x³-6x
Penyelesaian
f’(x)=3x²-6
f’’(x)=6x
Buat turunan keduanya sama dengan nol.
f’’(x)=0
6x=0
x=0
Nilai f(0)=0³-6(0)=0
Jadi, nilai titik belok fungsi tersebut adalah (0,0)
Tentukan titik belok fungsi f(x)=x³-6x
Penyelesaian
f’(x)=3x²-6
f’’(x)=6x
Buat turunan keduanya sama dengan nol.
f’’(x)=0
6x=0
x=0
Nilai f(0)=0³-6(0)=0
Jadi, nilai titik belok fungsi tersebut adalah (0,0)
Soal 19
Tentukan titik belok fungsi x⁴-4x²
Penyelesaian
f’(x)=4x³-8x
f’’(x)=12x²-8
Kita buat fungsi turunan keduanya sama dengan nol.
f’’(x)=0
12x²-8=0
12x²=8
x²=⅔
x=√⅔
nilai f(√⅔)=(√⅔)⁴- 4(√⅔)² = 4/9 – 8/3 = -20/9
Jadi, titik beloknya adalah (√⅔ , -20/9)
Tentukan titik belok fungsi x⁴-4x²
Penyelesaian
f’(x)=4x³-8x
f’’(x)=12x²-8
Kita buat fungsi turunan keduanya sama dengan nol.
f’’(x)=0
12x²-8=0
12x²=8
x²=⅔
x=√⅔
nilai f(√⅔)=(√⅔)⁴- 4(√⅔)² = 4/9 – 8/3 = -20/9
Jadi, titik beloknya adalah (√⅔ , -20/9)
Pelajari Juga:
Demikian “Soal Matematika SMA kelas 11 Turunan Lengkap“. Semoga Bermanfaat
