Mathematics

sheetmath.com membahas seputar matematika berupa rumus matematika, materi matematika dan contoh soal matematika.

Contoh Soal Matriks dan Operasinya + Penyelesaiannya

Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 7 nomor untuk soal beserta cara penyelesaiannya tentang matriks dan operasinya.

Nomor 1
Soal: Diberikan mariks A dan B sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 1\ 2 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} -1\ 3 end{pmatrix}$


Tentukan:
$(AB^{T}+I_{2})^{-1}$
Jawab:
Pertama-tama cari dahulu

$AB^{T}=begin{pmatrix} 1\ 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} -1 &3 end{pmatrix}$
$=begin{pmatrix} 1.(-1)=-1 &1.3=3 \ 2.(-1)=-2 & 3.3=6 end{pmatrix}$

Setelah itu tambahkan hasil di atas dengan $I_{2}$ sehingga akan seperti berikut:

Kemudian hasil di atas, di inverskan. Pertama-tama cari dahulu nilai determinan dari matriks yang sudah diperoleh yaitu sebagai berikut:

$AB^{T}+I_{2}=0.7-3(-2)=6$

Dengan demikian:

$(AB^{T}+I_{2})^{-1}=frac{1}{6}begin{pmatrix} 7 &-3 \ 2 &0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 7/6 &-1/2 \ 1/3& 0 end{pmatrix}$

Baca juga:

2. Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi

Nomor 2
Soal: Diberikan matrik A berukuran 2×2 dan matriks B berukuran 3×2 sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 3 &-1 \ 1 &-2 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 1 &-1 \ 2 &0 \ 6 &1 end{pmatrix}$

Tentukan:
a] $AB^{T}$
b] Pangkat matriks B, dan berikan alasannya.
Jawab:
a] Petama-tama, ubah dahulu matriks B menjadi matrik B yang di transpos sebagai berikut:

$B=begin{pmatrix} 1 &-1 \ 2 & 0\ 6 &1 end{pmatrix}rightarrow B^{T}=begin{pmatrix} 1 &2 &6 \ -1 &0 &1 end{pmatrix}$

Setelah itu, tentukan $AB^{T}$ sebagai berikut:
$AB^{T}=begin{pmatrix} 3 &-1 \ 1 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 &2 &6 \ -1 &0 &1 end{pmatrix}$
         $=begin{pmatrix} 3(1)+(-1)(-1)=4 &3(2)+(-1)(0)=6 &3(6)+(-1)(1)=17 \ 1(1)+(-2)(-1)=3 &1(2)+(-2)(0)=2 &1(6)+(-2)(1)=4 end{pmatrix}$
b] Untuk menjawab pertanyaan b, ada 2 cara penyelesaian yaitu sebagai berikut:

Cara 1: Ambil anak matriks dari matriks B berukuran 2×2 sebagai berikut:

$hat{B}=begin{pmatrix} 1 &-1 \ 2 &0 end{pmatrix}$

karena :
 $left | hat{B} right |=2neq 0$
maka p(B) = 2

Cara 2: Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks B sehingga menjadi matriks mirip sgitiga atas. Seperti berikut ini:
$B=begin{pmatrix} 1 &-1 \ 2 &0 \ 6 &1 end{pmatrix}$

Terlihat bahwa p(B) = 2

Nomor 3
Soal: Diberikan matriks B sebagai berikut:

$B=begin{pmatrix} 0 &1 &0 \ -1 &1 &1 \ 1 &0 &0 end{pmatrix}$

Tentukan: $B^{-1}$ dengan metode matriks adjoin.
Jawab:
Pertama-tama, tentukan dahulu matriks kofaktornya sebagai berikut:
Matriks kofaktor $C=(a_{ij})$ dengan:

Sehingga matriks kofaktornya sebagai berikut:

$C=begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \ 0 &0 &1 \ 1 &0 &1 end{pmatrix}$

Dengan mengambil baris ke-3 dari matriks B, diperoleh:

$left | B right |=alpha _{31}alpha _{31}+alpha _{32}alpha _{32}+alpha _{33}alpha _{33}=1.1+0.0+0.0=1$

Maka:

$B^{-1}=frac{1}{left | B right |}C^{T}=frac{1}{1}begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \ 0 &0 &1 \ 1 &0 &1 end{pmatrix}^{T}$
$=begin{pmatrix} 0 &0 &1 \ 1 &0 &0 \ -1 &1 &1 end{pmatrix}$



Nomor 4
Soal: Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \ 0 &3 &4 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 4 &0 &-3 \ -1 &-2 &3 end{pmatrix}$

Jika ada, tentukan:
a] $AB^{T}$
b] $(AB^{T})^{-1}$
Jawab:
a] Akan diperoleh seperti dibawah ini:

$AB^{T}=begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \ 0 &3 &4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 4 &-1 \ 0 &-2 \ -3 &3 end{pmatrix}$
$=begin{pmatrix} -2 &7 \ -12 &6 end{pmatrix}$

b] Untuk mencari matriks invers dari jawaban (a) maka terlebih dahulu tentukan nilai determinannya, yaitu: (-2)(6) – (-12)(7) = 72. Sehingga,

$(AB^{T})^{-1}=frac{1}{72}begin{pmatrix} 6 &-7 \ 12 &-2 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1/12 &-7/72 \ 1/6 & -1/36 end{pmatrix}$

Nomor 5
Soal: Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 1 &-1 \ 3 &2 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 3 &-4 end{pmatrix}$

Tentukan:
a] 3BA – 2B
b] $det(5A^{T})$
Jawab:
a] Akan diperoleh sebagai berikut:
$3BA-2B=3begin{pmatrix} 3 &-4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 &-1 \ 3 &2 end{pmatrix}-2begin{pmatrix} 3 &-4 end{pmatrix}$
$3BA-2B=begin{pmatrix} 27 &-33 end{pmatrix}-begin{pmatrix} 6 &-8 end{pmatrix}=begin{pmatrix} -33 &-25 end{pmatrix}$
b] Pertama-tama cari dahulu

$5A^{T}=5begin{pmatrix} 1 &-1 \ 3 &2 end{pmatrix}^{T}= 5begin{pmatrix} 1 &3 \ -1 &2 end{pmatrix}$
$=begin{pmatrix} 5 &15 \ -5 &10 end{pmatrix}$

Kemudian determinankan hasil matriks tersebut sebagai berikut:

$det(5A^{T})=5(10)-(-5)(15)=125$

Nomor 6
Soal: Diketahui matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \ 0 &1 &0 \ 0 &2 &0 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 1 &2 &3 end{pmatrix}$

Tentukan:
a] $AB^{T}$
b] pangkat matriks A
Jawab:
a] Akan diperoleh:

b] Karena baris ke tiga merupakan kelipatan baris ke dua maka |A| = 0 sehingga p(A) < 3. Dengan mengambil salah satu anak matriks berukuran 2 x 2 maka akan di peroleh sebagai berikut:

$begin{vmatrix} 2 &1 \ 0 &1 end{vmatrix}=2neq 0$

Sehingga p(A) = 2.
Atau dengan cara lain, yaitu melakukan Operasi Baris Dasar (OBD) sehingga A menjadi matriks segitiga atas seperti di bawah ini:

$begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \ 0 &1 &0 \ 0 &2 &0 end{pmatrix}$
$E_{32(-2)}begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \ 0 &1 &0 \ 0 &2+1(-2)=0 &0 end{pmatrix}$

Diperoleh, p(A) = 2


Baca Juga :

2. Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks

Nomor 7
Soal: Diberikan matriks A dan C sebagai berikut:

$A=begin{pmatrix} 1 & 2\ 0&1 end{pmatrix},C=begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0 &1 &0 \ 0 &0 &2 end{pmatrix}$

Tentukan: matriks X yang memenuhi

$AXC=begin{pmatrix} 1 & 2\ 0&1 end{pmatrix},C=begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0 &1 &0 \ end{pmatrix}$

Jawab:

Sampai disini yaaa Gengs.

Artikel sebelumnya Contoh Soal dan Penyelesaiannya - Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear ( SPL )
Artikel selanjutnya Soal dan Jawaban Limit dan Kekontinuan

akulingiyai

Artikel Terbaru

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Kembali ke atas