Contoh Soal Matriks Invers dan Pembahasan

Pembahasan:
Yang pertama-tama perlu dilakukan yaitu mencari determinan dari matriks A dan matriks kofaktor dari matriks A. Sehingga diperoleh det (A) = -2 dan matriks kofaktornya adalah seperti berikut ini:

$C=begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \ -5 &-1 &3 \ -7 &-1 & 5 end{pmatrix}$

Dengan demikian invers matriks A adalah:

$A^{-1}=frac{1}{-2}begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \ -5 &-1 &3 \ -7 &-1 & 5 end{pmatrix}^{T}$
         $=frac{1}{-2}begin{pmatrix} 3 &-5 &-7 \ 1 &-1 &-1 \ -3 &3 & 5 end{pmatrix}$
         $=begin{pmatrix} -3/2 &5/2 &7/2 \ -1/2 &1/2 &1/2 \ 3/2 &-3/2 & -5/2 end{pmatrix}$

Nomor 2
Soal: Tentukan invers dari matriks A berikut ini:

$A=begin{pmatrix} 1&3 \ 2 &4 \ end{pmatrix}$
Pembahasan:
Sama halnya dengan nomor 1. Nomor 2 pun pengerjaannya sama, yaitu pertama-tama tentukan determinan dari matriks A dan matriks kofaktor dari matriks A.
Karena ini adalah matriks berukuran [ordo] 2×2 maka det(A) = 1(4) – 2(3) = -2. Karena det(A) tidak sama dengan nol sehingga untuk menentukan matriks invers dapat ditentukan dengan tentukan matriks adjoint dari matriks A.Seperti berikut ini:

$C^{T}=begin{pmatrix} 4&-2 \ -3 &1 \ end{pmatrix}$
Matriks adjoint-nya diperoleh dengan cara sebagai berikut:
Baris ke-1 kolom ke-1 ditukar tempat dengan baris ke-2 kolom ke-2
Baris ke 2 kolom ke-1dan baris ke-1 kolom ke-2  masing-masing dikalikan dengan minus satu (-1).
Dengan demikian matriks invers akan diperoleh seperti berikut:

$A^{-1}=frac{1}{-2}begin{pmatrix} 4&-2 \ -3 &1 \ end{pmatrix}$
         $=begin{pmatrix} -2&1 \ 3/2 &-1/2 \ end{pmatrix}$


Untuk penjelasan materinya, baca disini
Matriks – Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar
Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi
Matriks – Metode Minor Kofaktor
Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
Beberapa Sifat Dari Determinan Suatu Matriks 

Nomor 3
Soal: Tentukan invers matriks A berikut ini dengan ad – bc # 0

$A=begin{pmatrix} a&b \ c &d \ end{pmatrix}$
Pembahasan:
Perhatikan: det(A) = ad – bc [tidak nol].
Karena determinannya tidak nol maka selanjutnya tentukan matrik kofaktor dari matriks A. Seperti berikut ini:

$C=begin{pmatrix} d&-c \ -b &a \ end{pmatrix}$
Setelah menentukan matriks kofaktor, selanjutnya tentukan matriks adjoin-nya. Seperti berikut ini:

$C^{T}=begin{pmatrix} d&-b \ -c &a \ end{pmatrix}$
Dengan demikian matriks A adalah sebagai berikut:

$A^{-1}=frac{1}{ad-bc}begin{pmatrix} d&-b \ -c &a \ end{pmatrix}$

Nomor 4
Soal: Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila

$A=begin{pmatrix} 3&1 \ -2 &-1 \ end{pmatrix},B=begin{pmatrix} 6&8 \ 11 &-1 \ end{pmatrix}$
Pembahasan:
Untuk menentukan matriks T dari persamaan pada soal yaitu TA = B, maka kalikan [dari sebelah kanan] kedua ruas persamaan tersebut dengan matriks $A^{-1}$, sehingga diperoleh:

$mathbf{TAA^{-1}}=mathbf{BA^{-1}}$

Karena $mathbf{AA^{-1}}=I$ maka

$mathbf{TI=BA^{-1}}$
$mathbf{T=BA^{-1}}$

Karena

$A^{-1}=frac{1}{-3-(-2)}begin{pmatrix} -1 &-1 \ 2 &3 end{pmatrix}$
         $=begin{pmatrix} 1 &-1 \ -2 &-3 end{pmatrix}$
maka

$T=begin{pmatrix} 6 & 8\ 11&-4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 &1 \ -2&-3 end{pmatrix}$
    $=begin{pmatrix} -10& -18\ 19&23 end{pmatrix}$

Untuk latihan soal lebih banyak, silahkan baca disini
Contoh Soal Matriks dan Operasinya + Penyelesaiannya
Contoh Soal Matriks Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Dan Campuran – Plus Jawabannya

Demikian contoh-contoh soal dan pembahasannya.

Semoga bermanfaat