Beberapa terapan integral dalam kehidupan sehari-hari:
1. Peramalan jumlah populasi pada masa untuk beberapa tahun yang akan datang.
2. Penentuan konsumsi energi di Bandung pada suatu hari.
3. Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.
Anti Turunan
Definisi dari anti turunan
Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk setiap x∈I.
Teorema anti turunan secara umum
Jika F anti turunan dari f pada interval I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C dengan C adalah konstanta sembarang.
Formula-formula anti turunan
1. Fungsi: kf(x) ; Anti turunan: kF(x) + C ; k=konstanta, C=konstanta
2. Fungsi: f(x) $pm$ g(x) ; Anti turunan: F(x) $pm$ G(x) + C
3. Fungsi: xⁿ, n-1 ; Anti turunan: xⁿ⁺¹/(n+1)+C; C=konstanta
4. Fungsi: sin x ; Anti turunan: -cos x + C; C=konstanta
5. Fungsi: cos x ; Anti turunan: sin x + C; C=konstanta
6. Fungsi: sec²(x) ; Anti turunan: tan x + C; C=konstanta
7. Fungsi: csc²(x) ; Anti turunan: -cot x + C; C=konstanta
8. Fungsi: sec x tan x ; Anti turunan: sec x + C; C=konstanta
9. Fungsi: csc x cot x ; Anti turunan: -csc x + C; C=konstanta
Luas di Bawah Kurva
- Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luas daerah bidang rata
- Bagaimana menentukan luas daerah bidang rata s yang dibatasi oleh kurva y=f(x)≥0, sumbu-x, garis x = a, x = b? Lihat grafik di atas
Pendekatan persegi panjang untuk menghitung luas
- Buat n persegi panjang dengan luas A₁,A₂_ ,A₃,…,Aₙ
- Luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegi panjang
- Makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A
- Luas A didefinisikan sebagai penjumlahan tak hingga banyak persegi panjang
Lihat gambar di bawah ini:
Perhitungan luas dengan pendekatan persegi panjang
Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y=f(x)≥0 sumbu-x, garis x = a, x = b, maka lakukan:
- Bagi interval [a,b] menjadi n interval bagian a=[x₀,x₁],[x₁,x₂],…,[xₙ₋₁,xₙ] dengan sama panjang, yakni $∆x=frac{b-a}{n}$, sehingga akan berlaku xᵢ=a+i ∆x
- Pada setiap interval bagian $[x_{i-1},xᵢ]$ buat persegi panjang dengan lebar ∆x dan panjang f(xᵢ), sehingga luas Aᵢ=f(xᵢ) ∆x
dengan
i = 1,2,3,…
Definisi luas di bawah kurva
Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y=f(x)≥0 sumbu-x, garis x = a, x = b adalah:
$A=lim_{nrightarrow infty }R_{n}$
$=lim_{nrightarrow infty }sum_{i=1}^{n}f(x_{i})Delta x$
$=lim_{nrightarrow infty }[f(x_{1})Delta x+f(x_{2})Delta x+…+f(x_{n})Delta x]$
Rₙ adalah Jumlah Riemen
Berikut ini diberikan formula notasi sigma, diantaranya:
$1. sum_{i=1}^{n}c=cn ;$
$2. sum_{i=1}^{n}cx_{i}= csum_{i=1}^{n}x_{i}$
$3. sum_{i=1}^{n}x_{i}pm y_{i} = sum_{i=1}^{n}x_{i}pm sum_{i=1}^{n}y_{i}$
$4. sum_{i=1}^{n}i = frac{n(n+1)}{2}$
$5. sum_{i=1}^{n}i^{2} = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$6. sum_{i=1}^{n}i^{3} = left ( frac{n(n+1)}{6} right )^{2}$
dengan c adalah konstanta
Integral Tentu
Konsep jumlah Rieman Rₙ (pada luas di bawah kurva) dapat diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x atau S₂.
Jumlah Riemen pada S₂ negatif karena f(xᵢ)< 0
Pada interval [a,b], lambang pada limit jumlah Rieman dapat diganti dengan lambang integral tentu
$lim_{nrightarrow infty }sum_{i=1}^{n}f(x_{i})Delta x=int_{a}^{b}f(x)dx$
Perhatikan grafik di bawah ini:
Definisi integral tentu
Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah
$int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{nrightarrow infty }sum_{i=1}^{n}f(c_{i})Delta x$
dengan:
$c_{i}in left [ x_{i-1},x_{i} right ]$ ; $Delta x=frac{b-a}{n}$; $[ x_{i-1},x_{i} ]$ adalah interval bagian ke-i dari $[a,b]=[x_{0},x_{n}]$ dimana i adalah 1,2,….
Hasil Evaluasi Integral Tentu
$int_{a}^{b}f(x)dx, bgeq a$
menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu dari tiga kemungkinan berikut:
1. Apabila lebih besar 0 ( >0 )
– Seluruh daerah berada di atas sumbu-x
– Luas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x
2. Apabila lebih kecil 0 ( < 0 )
– Seluruh daerah berada di bawah sumbu-x
– Luas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x
3. Apabila sama dengan 0 ( = 0 )
– f (x) = 0 atau a = b
– Luas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x
Sifat-Sifat Integral Tentu
Berikut adalah sifat-sifat umum dari integral tentu:
$1. int_{b}^{a}f(x)dx=-int_{a}^{b}f(x)dx$
$2. int_{a}^{a}f(x)dx=0$
$3. int_{a}^{b}cdx=c(b-a)$
$4. int_{a}^{b}cf(x)dx=c int_{a}^{b}f(x)dx$
$4. int_{a}^{b}cf(x)dx=c int_{a}^{b}f(x)dx$
$5. int_{a}^{b}[f(x)pm g(x)]dx= int_{a}^{b}f(x)dxpm int_{a}^{b}g(x)dx$
$5. int_{a}^{b}[f(x)pm g(x)]dx= int_{a}^{b}f(x)dxpm int_{a}^{b}g(x)dx$
$6. int_{a}^{b}f(x)dx +int_{b}^{c}f(x)dx= int_{a}^{c}f(x)dx$
Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
- Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.
- Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitungan rumit seperti limit Jumlah Riemann.
- Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial: Teorema Dasar Kalkulus (TDK).
- Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebih
mudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.
Ilustrasi geometri teorema dasar kalkulus 1
Teorema dari Teorema dasar kalkulus 1
Jika f kontinu di [a,b] maka $F(x)= int_{a}^{x}f(t)dt$ kontinu pada [a,b], terturunkan pada (a,b), dan turunnannya adalah f(x)
$F'(x)= frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$
Teorema Dasar Kalkulus 2
Teorema dari teorema dasar kalkulus 2
Jika f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f pada [a,b], maka:
$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Teorema dasar kalkulus 2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,
jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.
Berdasarkan teorema dasar kalkulus 2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:
1. Tentukan anti turunan F dari f ,
2. Evaluasi F(b) – F(a) .
Integral Tak Tentu
Definisi integral tak tentu
Misalkan F adalah anti turunan f Integral tak tentu f(x) terhadap x adalah
$int f(x)dx=F(x)+C$
– Hasil integral tentu berupa suatu bilangan sedangkan hasil integral tak tentu berupa fungsi.
– Integral tak tentu adalah lambang lain anti turunan.
Formula Integral Tak Tentu
Berikut ini disajikan beberapa formula dari integral tak tentu, diantaranya:
$1. int kf(x)dx=kint f(x)dx$
$2. int [f(x)pm g(x)]dx=int f(x)dxpm int g(x)dx$
$3. int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1)+C , nneq -1$
$4. int sinxdx= -cos x +C$
$5. int cosxdx= sin x +C$
Aturan Substitusi
Aturan substitusi digunakan pada kasus:
– Sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapi
– Bagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.
Teorema aturan substitusi
Jika u = g(x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada $W_{g}$, maka
$int f(g(x))g'(x)dx=int f(u)du$
$int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)=int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$
Integral Fungsi Simetri
Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan bahwa:
- Jika f fungsi genap, maka: $int_{-a}^{a}f(x)dx=2int_{-a}^{0}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$
- Jika f fungsi ganjil, maka: $int_{-a}^{a}f(x)dx=0$
Ilustrasi Geometri (Integral Fungsi Simetri)
