Sebelum bahas tentang Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri ada baiknya kita me-review kembali Teorema Dasar Kalkulus.
Teorema Dasar KalkulusJika f kontinu pada selang [a,b] dan jika F’ adalah sembarang anti-turunan dari f pada [a,b], maka:
$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Sehingga, jika kita bisa menentukan antiturunan baik itu integral tak-tentu atau integral tak-terbatas dari fungsi f maka kita dapat pula menentukan integral tentu fungsi f tersebut .
Berikut ini merupakan beberapa rumus dasar pengintegralan yang dapat kita gunakan untuk untuk menentukan anti-turunan.
1. $int u^n du=frac{u^n+1}{n+1}+C;nneq -1$
2. $int frac{du}{u} du=ln |u|+C$
3. $int e^u du=e^u+C$
4. $int a^u du=frac{a^u}{ln a}+C$
5. $int sin u du=-cos u+C$
6. $int cos u du=sin u+C$
7. $int sec ^2 u du=tan u+C$
8. $int csc ^2 u du=-cot u+C$
9. $int sec u tan udu=-sec u+C$
10. $int csc u cot udu=-csc u+C$
11. $int tan u du=-ln |cos u| +C$
12. $int cot u du=ln |sin u| +C$
13. $int sec u du=ln |sec u +tan u| +C$
14. $int csc u du=ln |csc u -cot u| +C$
15. $int frac{du}{sqrt{a^2 -u^2}}=arcsin begin{pmatrix} frac{u}{a} end{pmatrix}+C$
16. $int frac{du}{usqrt{u^2-a^2}}=frac{1}{a}textrm{arcsec}begin{pmatrix} frac{u}{a} end{pmatrix}+C$
17. $int frac{du}{a^2+u^2}=frac{1}{a}textrm{arctan}begin{pmatrix}frac{u}{a}end{pmatrix}+C$
Secara umum, menentukan antiturunan suatu fungsi adalah lebih sulit dari menentukan turunan fungsi tersebut. Oleh karena itu, kadangkala diperlukan teknik-teknik tertentu untuk mempermudah penentuan antiturunan suatu fungsi. Teknik-teknik untuk menentukan antiturunan inilah yang disebut teknik pengintegralan.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Akan ada lima (5) kasus yang dibahas yakni:
Kasus 1
Integral yang mengandung ekspansi $int sin^n xdx$ atau $int cos^n xdx$
Untuk menyelesaikan kasus pertama ini, mari kita perhatikan dua hal berikut ini:
a. Jika n adalah bilangan bulat ganjil dan positif, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut ini:
sin² x+ cos² x =1
untuk penyederhanaan lebih lanjut
b. Jika n adalah bilangan bulat genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut
$sin^2 x=frac{1}{2}begin{pmatrix} 1-cos (2x) end{pmatrix}$
Atau
$cos^2 x=frac{1}{2}begin{pmatrix} 1+cos (2x) end{pmatrix}$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
CONTOH 1
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$int cos^3 x dx$
Jawab:
$int cos^3 x dx$
$=int cos^2 x cos x dx$
$=int (1-sin^2 x)cos x dx$
kita misalkan:
u = sin x , du = cos x dx
Sehingga,
$=int (1-u^2 )du$
$=u-frac{1}{3}u^3+C$
$=sin x-frac{1}{3}sin^3 x+C$
CONTOH 2
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$int sin^7 x dx$
Jawab:
$int sin^7 x dx$
$=int sin^6 x sin x dx$
$=int (sin^2 x)^3 sin x dx$
$=int (1-cos^2 x)^3 sin x dx$
misalkan:
u = cos x, du = -sin x dx
Sehingga,
$=-int (1-u^2 )^3 du$
$=-int (1-3u^2-3u^4+u^6 ) du$
$=-u+u^3+3/5 u^5-1/7u^7+C$
$=-cos x+(cos x)^3+3/5 (cos x)^5-1/7(cos x)^7+C$
Kasus 2
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
$int sin^m x cos^n x dx$
Untuk menyelesaikan kasus dua ini, mari perhatikan dengan saksama dua hal berikut ini:
a. Jika m atau n adalah bilangan ganjil positif, sedangkan pangkat yang lain adalah bilangan nyata sembarang, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut.
$sin^2 x cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
b. Jika m dan n adalah bilangan bulan genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut untuk mereduksi derajat integral.
CONTOH 3
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$int sin^5 x cos^2 x dx$
Jawab:
$int sin^5 x cos^2 x dx$
$=int (sin^2 x)^2 cos^2 x sin x dx$
$=int (1-cos^2 x)^2 cos^2 x sin x dx$
misalkan:
u = cos x , du = -sin x
Sehingga,
$=int (1-u^2 )^2 u^2 -du$
$=-int (u^2-2u^4+u^6) du$
$=- (u^3/3-2/5u^5+u^7/7) +C$
$=-cos x^3/3-2/5(cos x)^5+cos x^7/7 +C$
CONTOH 4
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$int sin^4 x cos^2x dx$
Jawab:
$int sin^4 x cos^2x dx$
$=int (sin x cos x)^2 sin^2x dx$
$=int frac{(sin 2x)^2}{4} sin^2x dx$
$=int frac{(sin^2 2x)}{4} (frac{1-cos 2x}{2}) dx$
$=int frac{1}{8}sin^2 2x dx-int frac{1}{8}sin^2 2x cos 2x dx$
$=frac{1}{8}int frac{1-cos 4x}{2} dx$
$=frac{1}{16}x-frac{1}{16}int cos 4x dx$
$=frac{x}{16}-frac{sin 4x}{64}+C$
Kasus 3
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
$int tan^n x dx$
atau
$int cot^n x dx$
a. Apabila kasusnya tangen maka pisahkan seperti berikut
$tan^2 x=sec^2 x-1$
b. Apabila kasusnya kotangen maka pisahkan seperti berikut
$cot^2 x=csc^2 x-1$
CONTOH 5
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$int tan^6 x dx$
Jawab:
$int tan^6 x dx$
$=int tan^4 x tan^2 x dx$
$=int tan^4 x (sec^2 x -1) dx$
$=int (tan^4 x sec^2 x -tan^4 x) dx$
$=int tan^4 x sec^2 x -int tan^4 x dx$
misalkan:
u = tan x, maka:
$du=sec^2 x$
Sehingga:
$=int u^4 du -int tan^4 x dx$
$=frac{1}{5}tan^5 x-int tan^4 x dx$
$=frac{1}{5}tan^5 x-frac{1}{3}tan^3 x – x +C$
$int tan^4 x dx$ diperoleh dengan cara seperti berikut ini:
$int tan^4 x dx$
$=int tan^2 x tan^2 x dx$
$=int tan^2 x (sec^2 x-1) dx$
$=int (tan^2 x sec^2 x-tan^2 x) dx$
$=int tan^2 x sec^2 x dx-int tan^2 x dx$
misalkan:
du = tan x, maka
$du=sec^2 x dx$
Sehingga
$=int u^2 du-int tan^2 x dx$
$=frac{1}{3}u^3 -int (sec^2 x-1) dx$
$=frac{1}{3}u^3 -int sec^2 x dx-int 1 dx$
$=frac{1}{3}u^3 – tan x -x+C$
$=frac{1}{3}tan^3 x – tan x -x+C$
Kasus 4
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
$int tan ^m x sec ^n xdx$
atau
$int cot ^m x csc ^n xdx$
Untuk menyelesaikan kasus 4 ini, perhatikan dua hal berikut ini:
1. Jika n genap dan m sembarang, maka pisahkan $sec^2 x$ atau $csc^2 x$, dan sisa yang lain di konversi ke bentuk tangen atau kotangen dengan kesamaan $sec^2 x=1+tan^2 x$ dan $csc^2 x=1+cot^2 x$
2. Jika m ganjil dan n sembarang, maka pisahkan (sec x tan x) atau (csc x cot x), dan sisa yang lain dikonversi ke dalam bentuk secan atau kosekan.
Kasus 5
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
a. sin mx cos nx
b. sin mx sin nx
c. cos mx cos nx
Untuk menyelesaikan integral semacam ini, kita perlu gunakan kesamaan berikut ini:
a. sin mx cos nx = 1/2 (sin (m + n) x + sin (m – n) x)
b. sin mx sin nx = -1/2 (cos (m + n) x – cos (m – n) x)
c. cos mx cos nx = 1/2 (cos (m + n) x + cos (m – n) x)
Demikian rangkuman dan beberapa contoh soal mengenai “Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]“.
Terima kasih.
Semoga bermanfaat.
