Soal dan Jawaban Limit dan Kekontinuan

Tidak henti-hentinya saya terus akan memberikan contoh-contoh soal beserta cara menyelesaikannya. Kesempatan kali ini, saya akan memberikan enam (6) soal tentang limit dan kekontinuan. Sebelum berlatih mengerjakan soal-soal di bawah ini, ada baiknya jika dipelajari materinya terlebih dahulu.

Nomor 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika ada berikan alasannya.
(a). \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
(b). \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}\)

Jawab:
(a).   Akan diperoleh seperti berikut

(b).   Karena,

maka:

sehingga,

Nomor 2
Diberikan fungsi f dengan

Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:

1. f(a)=a²
2. \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3\)
3. \(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}(x^{2})=a^{2}\)

Agar f kontinu di x = a maka haruslah

Nomor 3
Diketahui fungsi f sebagai berikut:

Periksa kekontinuan f di:
(a) x = 2
(b) x = 3

Jawab:
(a) Di x = 2 diperoleh:

f(2) = 4
\(\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x+1)=3\)
\(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x^{2}-1)=3\)
Karena hasil limit di atas tidak sama dengan hasil dari f(2) maka f tak kontinu di x = 2

(b) Di x = 3 diperoleh:

f(3)=x²-1=3²-1=8
\(\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3}(x^{2}-1)=8\)
Karena hasil yang diperoleh dari perhitungan limit di atas sama dengan hasil dari f(3) maka f kontinu di x = 3

Jangan Lupa, Baca Juga
Limit dan Kekontinuan (Kalkulus)

Nomor 4
Diketahui fungsi-fungsi f dan g yang memenuhi sebagai berikut:

Tentukan: \(\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\)

Jawab:
Dengan menggunakan hukum-hukum limit, akan diperoleh sebagai berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 1}(2-f(x))=1\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}2-\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)

Nomor 5
Jika ada, tentukan limitnya; jika tidak ada, berikan alasannya.
(a)  \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}\)
(b)  \(\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) dengan

Jawab:
(a)  Akan diperoleh seperti berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}\)

(b) Akan diperoleh:

Ingin berlatih soal tentang limit lebih banyak, silahkan klik di bawah ini
Contoh Soal dan Jawaban – Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit  

Nomor 6
Tanpa menggunakan aturan l’Hopital, maka hitunglah.
(a)   \(\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}})\)
(b)   \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}\)

Jawab:
(a) Akan diperoleh seperti di bawah ini.

(b) Akan diperoleh.
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}\)