Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengerjakan soal dari transformasi geometri yaitu lebih spesifiknya tentang rotasi dan dilatasi. Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu bangun terhadap titik pusat tertentu dengan sudut tertentu, baik searah maupun berlawanan arah jarum jam, tanpa mengubah bentuk dan ukurannya.
Sementara itu, dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun dengan memperbesar atau memperkecilnya berdasarkan faktor skala terhadap titik pusat tertentu, sehingga bentuk bangun tetap sama tetapi ukurannya berubah sesuai nilai faktor skalanya.
Tanpa basa-basi lagi, berikut 15 soal dan pembahasan tentang rotasi dan dilatasi.
Soal 1
Titik A(2,3) dirotasikan \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal (0,0). Tentukan bayangan titik A.
Pembahasan:
Rumus rotasi \(90^\circ\) maka:
\[(x,y)\rightarrow(-y,x)\]
\[A'(2,3)\rightarrow(-3,2)\]
Jawaban: (-3,2)
Soal 2
Titik (B(-4,5)) dirotasikan \(180^\circ\) terhadap titik asal.
Pembahasan:
Rumus:
\[(x,y)\rightarrow(-x,-y)\]
\[(-4,5)\rightarrow(4,-5)\]
Jawaban: (4,-5)
Soal 3
Titik C(6,-2) dirotasikan \(270^\circ\) berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Pembahasan:
Rumus:
\[(x,y)\rightarrow(y,-x)\]
\[(6,-2)\rightarrow(-2,-6)\]
Jawaban: (-2,-6)
Soal 4
Titik D(1,-7) diputar \(90^\circ\) searah jarum jam terhadap titik asal.
Pembahasan:
Rotasi \(90^\circ\) searah:
\[(x,y)\rightarrow(y,-x)\]
\[(1,-7)\rightarrow(-7,-1)\]
Jawaban: (-7,-1)
Soal 5
Segitiga memiliki titik A(1,2), B(3,1), dan C(2,4). Tentukan bayangannya setelah rotasi \(180^\circ\).
Pembahasan:
A'(-1,-2)
B'(-3,-1)
C'(-2,-4)
Jawaban:
\[A'(-1,-2),;B'(-3,-1),;C'(-2,-4)\]
Soal 6
Titik P(-5,-3) dirotasikan \(270^\circ\) terhadap titik asal.
Pembahasan:
\[(x,y)\rightarrow(y,-x)\]
\[(-5,-3)\rightarrow(-3,5)\]
Jawaban: (-3,5)
Soal 7
Titik hasil rotasi \(90^\circ\) dari titik Q(x,y) adalah (-8,5). Tentukan koordinat titik semula.
Pembahasan:
Rotasi:
\[(x,y)\rightarrow(-y,x)\]
Maka
\[-y=-8,\quad x=5\]
sehingga
\[y=8\]
Jawaban: (5,8)
Soal 8
Titik A(3,4) didilatasikan dengan faktor skala (k=2) terhadap titik asal.
Pembahasan:
Rumus:
\[(x,y)\rightarrow(kx,ky)\]
\[(3,4)\rightarrow(6,8)\]
Jawaban: (6,8)
Soal 9
Titik B(-6,2) didilatasikan dengan faktor \(k=\frac12\).
Pembahasan:
\[(-6,2)\rightarrow(-3,1)\]
Jawaban: (-3,1)
Soal 10
Titik C(5,-7) didilatasikan dengan faktor (-2).
Pembahasan:
\[(5,-7)\rightarrow(-10,14)\]
Jawaban: (-10,14)
Soal 11
Sebuah persegi memiliki titik sudut A(1,1), B(3,1), C(3,3), dan D(1,3). Dilatasi dengan faktor k=3.
Pembahasan:
A'(3,3)
B'(9,3)
C'(9,9)
D'(3,9)
Jawaban:
\[A'(3,3),;B'(9,3),;C'(9,9),;D'(3,9)\]
Soal 12
Titik hasil dilatasi dari titik P(x,y) dengan faktor 4 adalah (20,-12). Tentukan titik semula.
Pembahasan:
\[4x=20,\quad 4y=-12\]
\[x=5,\quad y=-3\]
Jawaban: (5,-3)
Soal 13
Titik A(2,1) diputar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam, kemudian didilatasi dengan faktor 3.
Pembahasan:
Rotasi:
\[(2,1)\rightarrow(-1,2)\]
Dilatasi:
\[(-1,2)\rightarrow(-3,6)\]
Jawaban: (-3,6)
Soal 14
Titik B(-2,4) didilatasi dengan faktor 2, kemudian dirotasikan \(180^\circ\).
Pembahasan:
Dilatasi:
\[(-2,4)\rightarrow(-4,8)\]
Rotasi:
\[(-4,8)\rightarrow(4,-8)\]
Jawaban: (4,-8)
Soal 15
Titik C(4,-1) diputar \(270^\circ\), kemudian didilatasi dengan faktor \(\frac12\).
Pembahasan:
Rotasi:
\[(4,-1)\rightarrow(-1,-4)\]
Dilatasi:
\[(-1,-4)\rightarrow\left(-\frac12,-2\right)\]
Jawaban: \(\left(-\frac12,-2\right)\)
Untuk mempermudah Gengs mengerjakan soal tentang rotasi dan dilatasi seperti soal-soal di atas, Gengs dapat mempelajari rangkuman di bawah ini.
Rotasi terhadap titik asal ((0,0))
| Besar Rotasi | Rumus |
|---|---|
| \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam | \((x,y)\rightarrow(-y,x)\) |
| \(90^\circ\) searah jarum jam | \((x,y)\rightarrow(y,-x)\) |
| \(180^\circ\) | \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\) |
| \(270^\circ\) berlawanan arah jarum jam | \((x,y)\rightarrow(y,-x)\) |
Dilatasi terhadap titik asal ((0,0))
Jika faktor skala (k),
\[(x,y)\rightarrow(kx,ky)\]
Keterangan:
Jika k>1 maka bangun diperbesar.
Jika 0<k<1 maka bangun diperkecil.
Jika k<0 maka bangun diperbesar/diperkecil sekaligus berpindah ke arah berlawanan terhadap pusat dilatasi.
Sekian pembahasan kita tentang “Soal Matematika SMP tentang Rotasi dan Dilatasi serta Jawaban“. Semoga bermanfaat.
