Transpos suatu Matriks
Transpos dari suatu matriks A, ditulis Aᵀ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari A menjadi kolom, atau mengganti setiap kolom dari A menjadi baris. sehingga, jika A=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, maka Aᵀ=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, seperti berikut:
\(\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &. &. &. &a_{m1} \\ a_{12} &a_{22} &. &. &. &a_{m2} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{1n} &a_{2n} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}\)
Jika matriks A berukuran m x n , maka matriks Aᵀ berukuran n x m
Sifat-sifat Matriks Transpose
- (A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ
- (kAᵀ)=kAᵀ, untuk suatu matriks skalar k
- (Aᵀ)ᵀ=A
- (ABᵀ)=BᵀAᵀContoh:
\(A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix} , \)
Jika mungkin selesaikan operasi matriks berikut ini:
1. 3A – 2B
2. (CAᵀ)
3. ABCJawab:
1. 3A – 2B
\(3\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} 3 &6 &9 \\ 15 &18 &21 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 12 &8 &10 \\ 6 &8 & 6 \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} -9 &-2 &-1 \\ 9& 10 & 15 \end{pmatrix}\)
\(A^{T}C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 &23 \\ 14 &30 \\ 17 &37 \end{pmatrix}\)
1. Jika matriks A berukuran 1×1, yaitu
A=(a₁₁)
maka det(A) = |A|= a₁₁
2. Jika matriks A berukuran 2×2
\(A_{2×2}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)
maka det(A) = \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
Pada matriks segi \(a_{11},a_{22},a_{12},a_{21}\), dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2×2
3. Jika matriks A berukuran 3×3
\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)
maka det(A)= \((a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}) – (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23} a_{32})\)
Metode ini sering dikenal dengan metode Sarrus
Contoh:
Dengan menggunakan metode Sarrus, tentukan determinan matriks
\(A=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 & 4 \end{pmatrix}\)
Jawab:
Untuk memudahkan perhitungan, salinlah dua kolom pertama dari matriks ke sebelah kanan matriks menjadi
\(\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 &4 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 &1\\ -1 &3\\ -2 &0 \end{matrix}\)
Determinan matriks A tersebut adalah
|A| = [(1x3x4)+(1x2x(-2))+(2x(-1)x0)] -[ (1x(-1)x4)+(1x2x(0))+(2x3x(-2)] =24
Demikian “Transpos dan Determinan Suatu Matriks Segi“. Terima kasih dan semoga bermanfaat.
