Asimtot
Jenis-Jenis Asimtot
- Asimtot tegak
- Asimtot datar
- Asimtot miring
Definisi Asimtot Tegak
Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f(x) jika
$lim_{xrightarrow a^{pm }}f(x)=pm infty$
Definisi Asimtot Datar
Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f(x) jika
$lim_{xrightarrowpm infty }f(x)=L$
Definisi Asimtot Miring
Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f(x) jika
$lim_{xrightarrowpm infty }[f(x)-(mx+b)]=0$
Teorema
Misalkan r>0 adalah bilangan rasional, maka
$lim_{xrightarrowpm infty }frac{1}{x^{r}}=0$
dengan ketentuan bahwa $x^{r}$ terdefinisikan
Penentuan Asimtot Fungsi Rasional
Diberikan fungsi rasional
$r(x)=frac{p_{1}(x)}{p_{2}(x)}=frac{c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+…+c_{0}}{k_{m}x^{m}+k_{m-1}x^{m-1}+…+k_{0}}$
1. Garis x = a dengan $p_{2}(a)=0$ dan $p_{1}(a)neq 0$ merupakan asimtot tegak.
2. Kasus n < m ==> garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.
3. Kasus n = m ==> garis y = cn/km merupakan asimtot datar.
4. Kasus n = m + 1 ==> r (x) = (mx + b)+ sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring.
Sketsa Kurva
Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)
- Identifikasi daerah asal $D_{f}$ , titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi.
- Identifikasi asimtot fungsi.
- Tentukan f ‘(x) —>
Identifikasi bilangan kritis.
Identifikasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal. - Tentukan f ”(x) —> Identifikasi interval kecekungan fungsi, titik belok.
- Gambar sketsa grafik f
Masalah Pengoptimuman
1) Pahami permasalahan, Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman
atau peminimuman suatu permasalahan.
2) Langkah-langkah pemecahan masalah:
1) pahami permasalahan,
2) formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi,
3) tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.
Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak
Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c), dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak.
Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah
pengoptimuman.
Teorema
Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terde.nisi
pada suatu interval.
- Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap x < c dan f ‘(x) < 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f.
- Jika f ‘(x) < 0 untuk setiap x < c dan f ‘(x) > 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f.
Ilustrasi Uji Turunan 1 dan Nilai Ekstrem Mutlak/Lokal
