Nomor 1
Buktikan bahwa barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) dengan \(a_{n}=\frac{2n+3}{n}\) untuk \(n\geq 1\) adalah barisan yang konvergen ke 2.
Jawab:
Akan dibuktikan :
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2\) \(\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
misal: \(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }\)
akan dibuktikan: jika \(n> \frac{3}{\epsilon }\) maka \(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
misalkan:
\(n> \frac{3}{\epsilon }\)
akan dibuktikan:
\(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
Bukti:
\(n> \frac{3}{\epsilon }\)
\(\epsilon > \frac{3}{n }\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}\)
maka TERBUKTI bahwa barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 2
\(\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}\)
Dengan menggunakan teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
Jawab:
\(\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}\)
\(a_{n}=\frac{n}{2n+3}\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}\)
\(c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}\)
Karena \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}\) adalah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka berdasarkan teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.
Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
\(\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}\)
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya adalah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2\)Sehingga dengan mudah dapat diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
\(\begin{Bmatrix} (-1)^{n}(ln n^{2})/(n) \end{Bmatrix}\)
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama seperti cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} \frac{(-1)^n(ln n^{2})}{n} \end{vmatrix}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{|ln n^{2}|}{|n|}\)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{ln n^{2}}{n}\)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}2n}{1}\)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n}=0\)
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.
Nomor 5
\(a_{n}=\frac{3n+5}{n}\)
Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) konvergen ke 3 jika \(n\rightarrow \infty\)
Jawab:
Diketahui:
\(forall \epsilon > 0,\exists Nni n> N\)
maka \(|a_{n}-3|< \)epsilon\)
Misal:
\(|a_{n}-3|< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{3n+5-3n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{5}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\Rightarrow \frac{5}{\epsilon }< n\)
\(\Rightarrow N=\frac{5}{\epsilon }\)
akan dibuktikan: jika \(n> \frac{5}{\epsilon }\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon\)
misal : \(n> \frac{5}{\epsilon }\)
adb: \(n> \frac{5}{\epsilon }\)
Bukti:
\(n> \frac{5}{\epsilon }\)
\(\Leftrightarrow\epsilon > \frac{5}{n}\)
\(\epsilon >| \frac{5}{n}|\)
\(\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{5+3n-3n}{n} \end{vmatrix}\)
\(\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}\)
Maka terbukti \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) konvergen ke 3.
