Nomor 1
Buktikan bahwa barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) dengan \(a_{n}=\frac{2n+3}{n}\) untuk \(n\geq 1\) adalah barisan yang konvergen ke 2.
Jawab:
Akan dibuktikan :
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2\) \(\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
misal: \(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon\)
\(n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }\)
akan dibuktikan: jika \(n> \frac{3}{\epsilon }\) maka \(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
misalkan:
\(n> \frac{3}{\epsilon }\)
akan dibuktikan:
\(\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon\)
Bukti:
\(n> \frac{3}{\epsilon }\)
\(\epsilon > \frac{3}{n }\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}\)
\(\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}\)
maka TERBUKTI bahwa barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 2
\(\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}\)
Dengan menggunakan teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
Jawab:
\(\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}\)
\(a_{n}=\frac{n}{2n+3}\☆)
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}\)
\(c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}\)
Karena \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}\) adalah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka berdasarkan teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.
Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
\(\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}\)
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya adalah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$lim_{nrightarrow infty }frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan mudah dapat diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$begin{Bmatrix} (-1)^{n}(ln n^{2})/(n) end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama seperti cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$lim_{nrightarrow infty }begin{vmatrix} frac{(-1)^n(ln n^{2})}{n} end{vmatrix}=lim_{nrightarrow infty }frac{|ln n^{2}|}{|n|}$
$=lim_{nrightarrow infty }frac{ln n^{2}}{n}$
$=lim_{nrightarrow infty }frac{frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
$=lim_{nrightarrow infty }frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.
Nomor 5
$a_{n}=frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa barisan $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 jika $nrightarrow infty$
Jawab:
Diketahui:
$forall epsilon > 0,exists Nni n> N$
maka $|a_{n}-3|< epsilon$
Misal:
$|a_{n}-3|< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{3n+5-3n}{n} end{vmatrix}< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{5}{n} end{vmatrix}< epsilon$
$Rightarrow frac{5}{epsilon }< n$
$Rightarrow N=frac{5}{epsilon }$
akan dibuktikan: jika $n> frac{5}{epsilon }Rightarrow begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}< epsilon$
misal : $n> frac{5}{epsilon }$
adb: $n> frac{5}{epsilon }$
Bukti:
$n> frac{5}{epsilon }$
$Leftrightarrowepsilon > frac{5}{n}$
$epsilon >| frac{5}{n}|$
$epsilon >begin{vmatrix} frac{5+3n-3n}{n} end{vmatrix}$
$epsilon >begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}$
Maka terbukti $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.
