Pada materi kali ini, prasyarat yang diperlukan agar dapat mengerti dengan jelas materi tentang “Barisan Tak Hingga” yaitu pengetahuan akan konsep fungsi dan limit fungsi.
Definisi Barisan Takhingga
Suatu barisan takhingga a₁, a₂, a₃,… adalah susunan bilangan terurut sesuai dengan urutan bilangan asli sebagai indeksnya, atau suatu fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan asli.
Barisan a₁, a₂, a₃,… dapat disajikan sebagai \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}_{n=1}^{\infty }\mathrm{atau} \begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\)
Kadangkala kita memperhatikan barisan yang indeksnya terdiri atas semua bilangan asli atau bilangan yang lebih besar.
Contohnya:
\(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}_{n=8}^{\infty }=\begin{Bmatrix} b_{8},b_{9},b_{10},… \end{Bmatrix}\)
Suatu barisan dapat dispesifikasi dengan beberapa cara berikut ini:
1. Dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk suatu pola. Misalnya barisan: 2, 5, 8, 11, 14, …
2. Dengan rumus eksplisit untuk suku ke-n. Misalnya: \(a_{n}=3n-1,n\geq 1\)
3. Dengan rumus rekursif. Misalnya \(a_{1}=2\) dan untuk semua \(n\geq 2, a_{n}=a_{n-1}+3\)
Kekonvergenan
Untuk memahami konsep kekonvergenen barisan tak hingga, perhatikan empat barisan berikut.
a. \(a_{n}=1-\frac{1}{n};n\geq 1\) atau \(0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},…\)
b. \(b_{n}=1-(-1)^{n}\frac{1}{n}; n\geq 1\) atau \(2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},\frac{3}{4},\frac{6}{5},…\)
c. \(c_{n}=\frac{(-1)^{n}(n-1)}{n};n\geq 1\) atau \(0,\frac{1}{2},\frac{-2}{3},\frac{3}{4},\frac{-4}{5},\frac{5}{6},\frac{-6}{7},…\)
Untuk nilai n yang semakin besar, baik nilai \(a_{n}\) maupun nilai \(b_{n}\) menuju ke 1. Namun tidak demikian dengan nilai \(c_{n}\) dalam hal ini kita sebut barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) dan \(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}\) konvergen ke 1.
Definisi Kekonvergenan
Suatu barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) disebut konvergen ke L, atau berlimit L, dan ditulis \(a_{n}\rightarrow L\), jika \(n\rightarrow \infty\) atau \(\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=L\) jika untuk setiap bilangan positif \(\epsilon\), ada bilangan positif N sehingga \(n\geq N\) maka \(\begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}< \epsilon\).
Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga disebut divergen.
Teorema Barisan Tak Hingga
Misalkan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) dan \(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}\) adalah barisan-barisan yang konvergen dan k adalah suatu konstanta. Maka:
1. \(\lim_{n\rightarrow \infty }\bigl(\begin{pmatrix} ka_{n} \end{pmatrix}\bigr)\)
\(=k\bigl(\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}\bigr)\)
2. \(\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} a_{n}\pm b_{n} \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}\pm \begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}\)
3. \(\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} a_{n}b_{n} \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}\)
4. \(\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{pmatrix} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \end{pmatrix}/ \begin{pmatrix} \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} \end{pmatrix}\), asalkan \(\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq 0\)
Teoreme Apit
Jika \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) dan \(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}\) adalah barisan-barisan yang konvergen menuju L, serta \(a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\) untuk semua n> K dengan K adalah konstanta bilangan asli, maka barisan \(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}\) konvergen menuju L.
Teorema
Jika \(\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} a_{n} \end{vmatrix}=0\) maka \(\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\)
Definisi Barisan Monoton
a. Suatu barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) disebut barisan naik jika untuk semua \(n\geq 1\) berlaku \(a_{n}< a_{n+1}\).
b. Suatu barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) disebut barisan turun jika untuk semua \(n\geq 1\) berlaku \(a_{n}> a_{n+1}\).
c. Suatu barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) disebut barisan takturun jika untuk semua \(n\geq 1\) berlaku \(a_{n}\leq a_{n+1}\).
d. Suatu barisan \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\) disebut barisan taknaik jika untuk semua \(n\geq 1\) berlaku \(a_{n}\leq a_{n+1}\).
Barisan yang memenuhi salah satu sifat di atas disebut barisan monoton.
Teorema
- Jika U adalah suatu batas atas barisan takturun \(\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\), maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U.
- Jika L adalah suatu batas bawah barisan taknaik \(\begin{Bmatrix} b_{n} \end{Bmatrix}\), maka barisan ini konvergen menuju suatu limit B yang kurang dari atau sama dengan L.
catatan:
barisan takturun : bisa naik, bisa konstan
barisan taknaik : bisa turun, bisa konstan
Untuk contoh soal dan pembahasannya, Gengs dapat mengklik link di bawah ini:
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus
Oke dehh Gengs, sampai di sini dulu tentang “Ringkasan Materi Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus“.
Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.
