Berikut ini saya berikan 8 nomor soal beserta penyelesaiannya tentang gradien atau kemiringan dan persamaan garis yang terdapat pada materi kalkulus.
Soal 1
Tentukan persamaan kemiringan titik untuk garis yang melalui pasangan titik berikut: (3, 6) dan (2, -4)
Jawab:
Pertama kita cari kemiringan:
m = (y₂ – y₁) /( x₂ – x₁)
Diketahui x₁=3, y₁=6, x₂=2, y₂=-4
Maka:
m = (y₂ – y₁) /( x₂ – x₁)
= (-4-6)/(2-3)
= (-10)/(-1)
= 10
Dengan demikian persamaan kemiringannya adalah:
y – y₁ = m (x – x₁)
y-6 = 10 (x-3)
y-6 = 10x – 30
y = 10x – 30 + 6
y = 10x -24
Soal 2
Jika titik (3, k) terletak pada garis dengan kemiringan m=-2 yang melalui titik (2, 5), tentukan k!
Jawab:
m = (y₂ -y₁) /( x₂-x₁)
Diketahui x₁=3, x₂=2, y₁=k, y₂=5 dan m=-2
Maka:
m = (y₂ -y₁) /( x₂-x₁)
-2 = (5-k)/(2-3)
-2 = (5-k)/(-1)
2 = 5-k
k = 3
Jadi, nilai k =3
Soal 3
Tentukan persamaan intersep-kemiringan untuk setiap garis yang melalui (-2, 5) dan tegak lurus dengan garis yang memiliki persamaan 4x+8y= 3!
Jawab:
m₁m₂ = -1 (karena tegak lurus)
m₂ = (-1/m₂)
Diketahui:
4x+8y=3
8y=-4x+3
y=(-4/8)x + (3/8)
=(-1/2)x + (3/8)
Berdasarkan y=mx+b maka m=(-1/2)
Dengan demikian:
m₂=(-1/(-1/2))
=(-1 ⨯ -2)
= 2
Persamaan barunya yaitu y = 2x+b
Kita akan mencari b menggunakan apa yang telah diketahui pada soal.
Karena titik (-2,5) terletak pada persamaan garis 4x+8y=3 maka:
x=-2
y=5
Substitusikan x dan y ke dalam persamaan y=2x+b
5=2(-2)+b
5=-4+b
b=9
Dengan demikian persamaan barunya yaitu : y=2x+9
Soal 4
Tentukan kemiringan dan intersep y dari garis yang memiliki persamaan y/2 + x/3 = 1
Jawab:
y/2 + x/3 = 1
(3y+2x)/6 = 1
3y+2x=6
3y=-2x+6
y=(-2/3)x + (6/3)
=(-2/3)x + 2
Dengan demikian, kemiringan (m) = -2/3 dan b= 2.
Soal 5
Tentukan apakah pasangan-pasangan berikut adalah paralel, tegak lurus atau tidak keduanya:
a. y=3x+2 dan y=3x-2
b. 3x-2y=5 dan 2x+3y=4
c. 5x+4y=1 dan 4x+5y=2
Jawab:
INGAT!!
Paralel jika m₁=m₂
Tegak lurus jika m₁m₂ = -1
a. y=3x+2 dimana m₁=3
y=3x-2 dimana m₂ =3
Karena m₁=m₂=3 maka kedua persamaan tersebut paralel.
b. 3x-2y=5
-2y=5-3x
2y=3x-5
y=(3/2)x-(5/2) dimana m₁=3/2
2x+3y=4
3y=-2x+4
y=(-2/3)x + (4/3) dimana m₂ =(-2/3)
Karena m₁# m₂ maka kedua persamaan tersebut bukan paralel.
Karena bukan paralel maka kita cek apakah saling tegak lurus.
Kedua persamaan saling tegak lurus jika m₁m₂= (3/2)(-2/3) = -1
Karena m₁m₂= -1 maka kedua persamaan saling tegak lurus.
c. 5x+4y=1
4y=-5x+1
y=(-5/4)x +(1/4) dimana m₁=-5/4
4x+5y=2
5y=-4x+2
y=(-4/5)x + (2/5) dimana m₂=-4/5
Karena m₁# m₂ maka kedua persamaan tersebut tidak paralel.
Cek apakah kedua persamaan saling tegak lurus.
m₁m₂ =-1
(-5/4)(-4/5)= -1
1# -1
Karena m₁m₂ #-1 maka kedua persamaan tersebut tidak saling tegak lurus.
Dengan demikian kedua persamaan tersebut tidak paralel dan tidak saling tegak lurus.
Soal 6
Untuk nilai k berapa garis kx-3y=4k yang memiliki sifat-sifat berikut:
a. Memiliki kemiringan 1
b. Memiliki intersep sama dengan 2
c. Melalui titik (2, 4)
d. Paralel dengan garis 2x-4y=1
e. Tegak lurus dengan garis x-6y=2
Jawab:
kx – 3y = 4k
-3y = -kx + 4k
3y = kx – 4k
y = (k/3)x – (4/3)k
a. Memiliki kemiringan 1
y = (k/3)x – (4/3)k
Dari persamaan tersebut diperoleh:
m = k/3
1 = k/3
k = 3
b. Memiliki intersep sama dengan 2
y=2 ketika x=0 maka:
y = (k/3)x – (4/3)k
2=(k/3)(0) -(4/3)k
2=0 – (4/3)k
(4/3)k = -2
4k = -6
k = -6/4 = -3/2
c. Melalui titik (2, 4)
y = (k/3)x – (4/3)k
4 = (k/3)(2) – (4/3)k
4 = (2k/3) – (4k/3)
4 = (-2k/3)
12 = -2k
k = -6
d. Paralel dengan garis 2x-4y=1
Peralel jika m₁=m₂
2x – 4y = 1
-4y = -2x + 1
4y = 2x – 1
y = (2/4)x – (1/4)
y = (1/2)x – (1/4) dimana m₁=1/2
y = (k/3)x – (4/3)k dimana m₂ = k/3
Karena m₁=m₂ maka:
1/2 = k/3
2k = 3
k = 3/2
e. Tegak lurus dengan garis x-6y=2
Tegak lurus jika m₁m₂ = -1
x-6y=2
-6y = -x + 2
6y = x – 2
y = (1/6)x – (2/6)
y = (1/6)x – (1/3) dimana m₁ = 1/6
m₁m₂ = -1
y = (k/3)x – (4/3)k dimana m₂ = k/3
Karena m₁m₂ = -1 maka:
(1/6)(k/3) = -1
(k/18) = -1
k = -18
Soal 7
Tentukan kemiringan dari garis yang memiliki persamaan 3x-4y=8. Apakah titik (6, 2) dan (12, 7) terletak pada garis tersebut ?
Jawab:
Kemiringan= m
Akan kita tentukan m dari persamaan yang telah diketahui.
3x-4y=8
-4y = 8 -3x
4y = 3x -8
y = (3/4) x – (8/4)
= (3/4) x – 2
Berdasarkan y= mx +b maka kemiringan dari garis 3x-4y=8 yaitu 3/4.
Karena kita akan mencari tahu apakah titik (6, 2) dan (12, 7) terletak pada garis tersebut maka kita perlu mencari intersep y dan tidak lainnya.
Dari y= (3/4) x – 2 kita peroleh intersep y adalah -2. Selanjutnya kita substitusikan 0 untuk x sehingga menghasilkan garis yang melalui titik (0, -2)
Jika kita diperintahkan untuk menggambar garis maka kita perlu mencari titik lainnya. Seperti berikut ini:
Misalkan kita substitusikan x=4 dalam persamaan intersep-kemiringan:
y= (3/4) x – 2
= (3/4) (4) – 2
= 3 – 2 = 1
Dengan titik (4, 1) kita dapat membuat sebuah garis.
Sesuai pertanyaan pada soal, Apakah titik (6, 2) dan (12, 7) terletak pada garis tersebut?
Untuk mengetahuinya kita akan menguji apakah titik (6, 2) terletak pada garis tersebut.
Kita substitusikan titik (6, 2) dengan x=6 dan y=2 ke dalam persamaan 3x-4y=8 sebagai berikut:
3x-4y=8
3(6) -4(2) =8
18 – 8=8
10#8
Karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan maka titik (6, 2) tidak terletak pada garis tersebut.
Sama halnya akan kita uji apakah titik (12, 7) terletak pada garis tersebut atau tidak.
3x-4y=8
3(12) -4(7) =8
36-28=8
8=8
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka titik (12, 7) terletak pada garis tersebut.
Soal 8
Tentukan persamaan intersep-kemiringan dari garis L yang melalui (4, 1) dan sejajar dengan garis M yang memiliki persamaan 4x-2y=5 !
Jawab:
Dengan menyelesaikan persamaan terakhir untuk y, garis M akan memiliki persamaan intersep-kemiringan sebagai berikut:
4x-2y=5
-2y = 5 -4x
2y = 4x-5
y = 2x – (5/2)
Sehingga M memiliki kemiringan 2.
Kemiringan dari garis L sejajar dengan garis M maka Mₗ = Mₘ. Dengan demikian, kemiringan garis L yaitu Mₗ = 2.
Jadi, persamaan intersep-kemiringan L memiliki bentuk: y=2x+b
Karena (4, 1) terletak pada garis L, dapat kita tuliskan:
y = 2x + b
1 = 2(4) + b
1 = 8 + b
b = -7
Dengan demikian, b=-7 dan persamaan intersep-kemiringan dari L adalah y=2x-7.
Demikian Contoh dan Pembahasan Kemiringan Garis – Kalkulus.
Semoga Bermanfaat.
