Berikut ini penjelasan singkat dari implikasi dan biimplikasi dalam logika matematika.
Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berupa rangkaian dari dua pernyataan yang di hubungkan dengan kata penghubung “jika… , maka…”. implikasi dua penyataan p dan q ditulis p => q (dibaca: jika p, maka q). Pernyataan p disebut antiseden dan pernyataan q disebut konsekuen.
Sebuah kalimat implikasi p => q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah, selain itu implikasi bernilai benar.
Berikut ditampilkan tabel kebenaran dari implikasi:
Contoh:
1. Misalkan:
p = Rita lulus ujian nasional
q = ayah akan membelikan mobil baru
p = Rita lulus ujian nasional
q = ayah akan membelikan mobil baru
- Berikut kejadian yang mungkin terjadi pada kasus di atas: Apabila p benar dan q benar berarti Rita lulus ujian kemudian ayah
membelikan mobil. Apakah Rita senang? Tentu ia. Berarti nilai “jika p
maka q” benar (B) - Apabila p benar dan q salah berarti Rita lulus ujian kemudian ayah tidak
membelikan mobil baru. Apakah rita senang? Tentunya tidak. Rita
pastinya akan protes dan minta janji ayah untuk membelikan mobil. Protes
yang dilakukan menandakan nilai “jika p maka q” bernilai salah (S) - Apabila p salah dan q benar berarti Rita tidak lulus ujian kemudian
ayah membelikan mobil. Apakah Rita senang? Tentunya ia. Senang sekali…
sudah tidak lulus dapat mobil lagi. Rita tidak akan protes kan? Jadi
respon positif Rita menandakan nilai “jika p maka q” bernilai benar (B) - Apabila p salah dan q salah berarti Rita tidak lulus ujian kemudian
ayah tidak membelikan mobil. Dalam kasus ini apa tanggapan Rita? Rita
tidak akan protes kan? Karena Rita tahu bahwa kalau tidak lulus pastinya
tidak ada harapan mandapat mobil. Jadi nilai “jika p maka q” benar (B)
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
Jika matahari terbit di sebelah barat, maka Budi lulus ujian
Jawab:
Implikasi ini bernilai benar, karena antisedennya bernilai salah, walaupun konsekuen tidak diketahui nilai kebenarannya.
Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang berupa rangkaian dari 2 pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata penghubung “ …jika dan hanya jika q”.
Biimplikasi p <=> q dapat diartikan sebagai implikasi dua arah p => q dan p <= q atau merupakan konjungsi “ ( p => q ) Ʌ ( q <= p )”, sehingga nilai kebenaran dari p <=> q dapat ditentukan berdasarkan nilai kebenaran ( p => q ) Ʌ ( q <= p )”.
Berikut di paparkan tabel kebenaran biimplikasi:
Dengan melihat tabel kebenaran biimplikasi maka biimplikasi p <=> q bernilai benar hanya apabila kedua pernyataan p dan q bernilai sama (keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah). Selain daripada itu, biimplikasi bernilai salah.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan dibawah ini:
- Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia jika dan hanya jika Gunung Semeru berada di pulau Jawa
Jawab:
Misalnya: p = Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia
q = Gunung Semeru berada di pulau Jawa
Pernyataan p dan q keduanya bernilai benar maka biimplikasi p <=> q bernilai benar. - Dua buah segitiga sebangun jika dan hanya jika ketiga sudut yang bersesuaian sama besar
Jawab:
Misalkan: p = Dua buah segitiga sebangun.
q = Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar.
Pada soal ini masing-masing pernyataan tidak diketahui nilai kebenarannya, tetapi nilai kebenaran biimplikasi p <=> q dapat ditentukan, dengan mencari nilai kebenaran konjungsi ( p => q ) Ʌ ( q <= p ). Dalam
hal ini implikasi p => q merupakan implikasi logis yang bernilai benar, karena memang benar bahwa juka dua buah segitiga sebangun, maka segitiga sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga sama besar.
Sebaliknya apabila ketiga sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga
sama besar, maka segitiga tersebut sebangun. Ini berarti q => p bernilai benar. Sehingga konjungsi ( p => q ) Ʌ ( q <= p ) bernilai benar. Jadi, biimplikasi p <=> q bernilai benar (B).
