Transformasi geometri merupakan salah satu materi matematika yang Gengs pelajari di SMA kelas 11. Pada materi transformasi geometri, Gengs akan mempelajari perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik maupun kurva. Transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks. Contoh dari transformasi geometri yaitu saat bercermin dan bayangan terlihat jelas pada cermin tersebut.
Untuk bisa lebih memahami tentang transformasi geometri, berikut ini ulasan mengenai jenis-jenis transformasi geometri.
A. Jenis Transformasi Geometri
Jenis-jenis transformasi geometri terdiri dari translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perkalian) dan transformasi oleh matriks. Berikut ini penjabarannya:
1. Translasi (pergeseran)
Translasi/pergeseran merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik dengan arah dan jarak tertentu. Translasi ini diwakili oleh suatu vektor.
Jika titik P(a,b) ditranslasikan dengan \(T=\begin{pmatrix}h \\k\end{pmatrix}\), bayangannya adalah titik P’(a+h , b+k).
\(P(a,b)\overset{T=\begin{pmatrix}h \\k\end{pmatrix}}{\rightarrow}P'(a+h,b+k)\)
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik dengan sifat bayangan cermin. Berikut ini beberapa refleksi khusus.
| Refleksi | Bayangan dari (x,y) | Matriks Refleksi |
| 1. Terhadap sumbu X (Mₓ) | (x , -y) | \(\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \ \end{pmatrix}\) |
| 2. Terhadap sumbu Y (\(M_y\)) | (-x , y) | \(\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 & 1 \ \end{pmatrix}\) |
| 3. Terhadap titik asal (Mₒ) | (-x , -y) | \(\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 & -1 \ \end{pmatrix}\) |
| 4. Terhadap garis y = x (\(M_{y=x}\)) | (y , x) | \(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \ \end{pmatrix}\) |
| 5. Terhadap garis y = -x (\(M_{y=-x}\)) | (-y , -x) | \(\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 & 0 \ \end{pmatrix}\) |
| 6. Terhadap garis x = h (Mₓ₌ₕ) | (2h-x , y) | – |
| 7. Terhadap garis y = k (\(M_{y=k}\)) | (x , 2k-y) | – |
| 8. Terhadap titik (a,b)(M₍ₐ,b)) | (2a-x , 2b-y) | – |
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran merupakan transformasi yang memutar setiap titik dengan pusat tertentu.
1) Rotasi sebesar α dengan pusat O ditulis R(O,α). Jika titik A(a,b) dirotasikan sebesar α dengan titik pusat O, akan diperoleh bayangan A’(a’ , b’):
\(\begin{pmatrix}a’ \\b’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha &-\sin\alpha \\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}\)
Berikut ini beberapa rotasi khusus dengan pusat O.
| Rotasi | Bayangan dari (x,y) | Matriks Rotasi |
| R₉₀ =R(0,90°) | (-y , x) | \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ \end{pmatrix}\) |
| R₋₉₀ =R(0, -90°) | (y , -x) | \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ \end{pmatrix}\) |
| R₁₈₀ =R(0, 180°) | (-x , -y) | \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ \end{pmatrix}\) |
2) Rotasi sebesar α dengan pusat P ditulis R(P,α). Jika titik A(a,b) dirotasikan sebesar α dengan titik pusat P(m,n), akan diperoleh bayangan A’(a’,b’):
\(\begin{pmatrix}a’ \\b’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha \\sin\alpha & \cos\alpha \
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a-m \\b-m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}m \\n\end{pmatrix}\)
4. Dilatasi
Dilatasi merupakan transformasi yang memperkecil atau memperbesar suatu objek.
1) Dilatasi sebesar k dengan pusat O ditulis [O,k]. Jika titik A(a,b) dilatasikan dengan titik pusat O(0,0) dan factor skala k, akan diperoleh:
\(A(a,b)\overset{[o,k]}{\rightarrow}A'(ka,kb)\)
Atau dapat ditulis:
\(A(a,b)\overset{[o,k]}{\rightarrow}A'(a’,b’)\) dengan:
\(\begin{pmatrix}a’ \\b’\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}\)
2) Dilatasi sebesar k dengan pusat P ditulis [P,k]. Jika titik A(a,b) didilatasikan dengan titik pusat P(m,n) dan faktor skala k, akan diperoleh:
\(A(a,b)\overset{[P(m,n),k]}{\rightarrow}A'(a’,b’)\)
dengan:
a’=k(a-m)+m
b’=k(b-n)+m
atau dapat ditulis:
\(\begin{pmatrix}a’ \\b’\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}a-m \\b-m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}m \\n
\end{pmatrix}\)
5. Transformasi oleh Matriks
Bayangan titik A(a,b) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\left(\begin{matrix}p&q\\r&s\end{matrix}\right)\) adalah A’(a’,b’). Koordinat A’ dapat ditentukan dengan rumus berikut.
\(\begin{pmatrix}a’ \\b’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p &q \\r &s \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\b
\end{pmatrix}\)
Jika luas suatu bangun adalah L, luas bayangan bangun tersebut oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks M dirumuskan:
L’ = | det (M) | × L
B. Komposisi Transformasi
Komposisi transformasi adalah dua atau lebih transformasi geometri yang dilakukan secara berurutan. Transformasi oleh matriks \(T₁ = \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\) dilanjutkan oleh matriks \(T₂ = \left(\begin{matrix}p&q\\r&s\end{matrix}\right)\) terhadap titik A(x,y)\) dapat dituliskan sebagai berikut.
(T₂ ◦ T₁) (A) = T₂ (T₁(A))
\(= T₂ \left(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\right)\)
\(=\left(\begin{matrix}p&q\\r&s\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\)
Dari pernyataan di atas diperoleh bahwa komposisi dua transformasi yang diwakili oleh matriks T₁ dilanjutkan oleh matriks T₂ dapat diwakili oleh suatu transformasi oleh matriks T = T₂ × T₁.
Demikian “Rangkuman Materi Transformasi Geometri Kelas 11“. Semoga Bermanfaat.
