1. Pengertian Himpunan
Konsep himpunan merupakan suatu konsep mendatar dalam semua cabang ilmu matematika. Secara intuitif, sebuah himpunan adalah setiap daftar, kumpulan benda, atau kelas objek-objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Objek-objek dalam himpunan-himpunan sebagaimana akan kita lihat dari contoh-contoh yang diberikan, dapat berupa apa saja: bilangan, orang, benda, hewan, surat, sungai, dan lain-lain. Objek dalam himpunan dinamakan anggota atau elemen dari himpunan. Contoh himpunan: Bilangan-bilangan 1, 3,7, dan 10
Sekarang, perhatikan kumpulan obyek berikut ini.
1. Kumpulan lukisan indah di ruang pameran..
2. Kumpulan wanita cantik di kelasmu
3. Kumpulan siswa yang berkacamata di kelasmu
4. Kumpulan nama hari dalam satu minggu
5. Kumpulan bilangan bulat pada sebuah meteran
Apakah kumpulan obyek di atas merupakan himpunan?
2. Notasi
Himpunan-himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf-huruf besar: A, B. X, Y, … sedangkan elemen-elemen dalam himpunan dinyatakan dengan huruf-huruf kecil: a. b, x. y, … . Bila kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya, misalnya pada contoh di atas, dimana A terdiri atas bilangan-bilangan 1, 3, 7, 10, maka ditulis dengan aturan elemen-elemennya dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dalam tanda kurung kurawal { }, A={1,3,7,10}. Kita sebut bentuk ini bentuk pendaftaran (fabular form) dari himpunan.
Tetapi bila kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh elemen-elemennya, misalnya B adalah himpunan dari semua bilangan-bilangan genap, maka kita pergunakan suatu huruf, biasanya x, untuk menyatakan sembarang elemen,dan kita tulis: B = {x|x genap}, yang berbunyi “B adalah himpunan dari bilangan-bilangan x dimana x genap”. Kita menyebut bentuk ini bentuk pembangun-himpunan (set builder form) atau notasi pembentuk himpunan.
Perhatikan bahwa garis vertikal “|” dibaca “dimana”. Jadi, secara garis besar himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:
1.Dengan kata-kata,
2.Bentuk pendaftaran (tabular forrn), dan
3.Bentuk pembangun-himpunan (set-builder forrn) atau notasi pembentuk himpunan.
Jika suatu objek x adalah elemen dari sebuah himpunan A, maka ditulis: x∈A
yang dibaca “x termasuk A” atau ”x di dalam A” atau ”x anggota dari A” atau ”x elemen dari A”.
Jika di pihak lain, suatu objek x bukanlah anggota himpunan A, maka kita tulis: x∉A.
Sebagai penjelasan, perhatikan contoh C={a,e,i,o,u}. Elemen a merupakan anggota dari C sedangkan m bukan anggota dari C, maka ditulis a∈C, dan m∉C.
3. Himpunan-Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
Himpunan-himpunan dapat berhingga atau tak berhingga. secara intuitif, sebuah himpunan adalah berhingga bila ia terdiri dari sejumlah tertentu elemen-elemen yang berbeda, artinya bila kita menghitung elemen-elemen yang berbeda dari himpunan ini, maka proses perhitungannya dapat berakhir. Bila tidak demikian, maka himpunannya adalah himpunann tak berhingga.
4. Kesamaan Himpunan-Himpunan
Himpunan A sama dengan himpunan B jika keduanya bersama-sama memiliki anggota-anggota yang sama, artinya jika setiap elemen yang termasuk A juga termasuk B dan jika setiap elemen yang termasuk B juga termasuk A. Kita nyatakan kesamaan himpunan A dan B dengan A = B.
5. Himpunan Kososng dan Himpunan Nol
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota/elemen-elemen. Himpunan kosong dinotasikan dengan { }. Sedangkan, himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu 0 (angka nol).
6. Himpunan Bagian / Subhimpunan / Subset
Jika semua elemen himpunan A adalah juga sebuah himpunan B, maka A disebut subhimpunan/himpunan bagian dari B. Atau dengan kata lain, himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika setiap anggota/elemen A juga menjadi anggota B, dinotasikan dengan: A⊂B
Sebaliknya, himpunan A bukan merupakan subhimpunan dari B jika terdapat anggoya A yang tidak termasuk di B, dinotasikan denga: A ⊄ B
Dua himpunan A dan B adalah sama, yaitu A=B jika dan hanya jika A⊂B dan B⊂A.
Jika A subset dari B, maka kita dapat pula menulis: B⊃A yang dibaca “B superhimpunan dari A” atau “B superset dari A” atau “B mengandung A”
Catatan tambahan tentang subhimpunan:
1. Himpunan kosong { } dipandang sebagai subhimpunan dari setiap himpunan
2. Setiap himpunan adalah subhimpunan dari dirinya sendiri
3. Jika A bukanlah subhimpunan B, yaitu jika A ⊅ B, maka sekurang-kurangnya satu elemen A yang bukan anggota dari B.
7. Subhimpunan Sejati
Sebuah himpunan A dikatakan subhimpunan sejati dari himpunan B jika memenuhi 2 syarat berikut ini:
1. A adalah subhimpunan dari B –> A⊂B
2. A tidak sama dengan B –> A # B
8. Keluarga Himpunan/Himpunan dari Himpunan-Himpunan
Keluarga himpunan adalah sebuah himpunan yang semua anggotanya berbentuk himpunan.
9. Himpunan Kuasa
Keluarga dari semua subhimpunan sebuah himpunan A disebut himpunan kuasa dari A. Dengan kata lain, himpunan kuasa menyatakan semua himpunan bagian yang mungkin dari sebuah himpunan A, dan dinotasikan dengan : 2^A
Selanjutnya, jumlah semua elemen berbeda dari sebuah himpunan berhingga A disebut kardinalitas dari himpunan A, dinotasikan: n(A)
10. Himpunan Semesta
Dalam setiap pemakaian teori himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu. Himpunan ini kita sebut himpunan semesta. Dengan kata lain, himpunan semesta adalah himpunan himpunan yang memuat semua anggota atau objek yang dibicarakan. Pada beberapa buku, himpunan semesta dinotasikan dengan U dan S.
11. Hubungan Antar himpunan
1. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas/saling asing/saling terpisah jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan (anggota yang sama).
2. Dua himpunan A dan B dikatakan saling berpotongan (tidak saling lepas) jika keduanya mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B, atau sebaliknya. A⊃⊂B ⇔ ∃x∈A dan x∈B
3. Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
4. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika banyaknya elemen himpunan A sama dengan banyaknya elemen himpunan B, dinotasikan n(A) = n(B) .
5. Dua himpunan dikatakan dapat diperbandingkan jika A⊂B atau B⊂A.
12. Diagram Venn dan Diagram Euler
Untuk memudahkan pemahaman mengenai hubungan antara himpunan diperlukan adanya interpretasi terhadap himpunan secara geometris. Himpunan dapat diinterpretasikan secara geometris dengan dua cara yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram Euler.
Diagram Venn pertama kali dikenalkan oleh John Venn. Diagram ini menginterpretasikan himpunan dengan menggunakan kurva tertutup sederhana, sedangkan anggota himpunannya dinyatakan dengan noktah.
Diagram Euler sering disebut diagram garis. Euler mengenalkan gambar himpunan dengan memberikan garis hubung yang satu dengan yang lainnya sedemikian sehingga himpunan yang memuat himpunan yang lebih kecil ditempatkan di atas.
