Ringkasan dan Contoh Logika Matematika

PENGERTIAN LOGIKA MATEMATIKA
Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid.  Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan penalaran induktif.

Pelajari juga:

1. Logika Matematika – Contoh Soal dan Pembahasan

2. Contoh Soal dan Penyelesaian Logika Matematika

3. Contoh Soal dan Jawaban Logika Matematika

PENALARAN DEDUKTIF
Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.

Contoh:
Premis 1 : Semua siswa baru mengikuti MOS.
Premis 2 : Tiara adalah mahasiswa baru.
Kesimpulan : Tiara mengikuti MOS.

Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

Contoh:
Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur.
Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur.
Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur.
Premis 4 : Ayam-4 berkembang biak dengan telur.
.
.
.
Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur.
Kesimpulan : Semua ayam berkembang biak dengan telur

Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol. Keuntungan/ kekuatan bahasa simbol adalah ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

Logika mempelajari cara penalaran manusia, sedangkan penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa berupa kalimat-kalimat. Dengan demikian logika mempelajari kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia.

Proposisi adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Nilai benar / salah suatu proposisi disebut NILAI KEBENARAN pernyataan tersebut. Nilai kebenaran tergantung pada realitas.

Proposisi dikelompokkan menjadi 2 yaitu:

1. Proposisi sederhana : tidak mengandung kata hubung.

2. Proposisi majemuk terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung.

Perhatikan beberapa contoh berikut.

Selidikilah kalimat-kalimat berikut ini , mana yang proposisi atau bukan.

1. Lagu kebangsaan Indonesia adalah Indonesia Raya.  PROPOSISI

2. 9 adalah bilangan genap. PROPOSISI

3. Badak itu memiliki gading. PROPOSISI

4. Setahun terdiri dari 52 minggu.  PROPOSISI

5. 8 + 4 = 12. PROPOSISI

6. Mengapa kamu menangis? BUKAN

7. 3 > 5 PROPOSISI

8. Ambilkan aku kue itu! BUKAN

9. Semoga kamu lekas sembuh! BUKAN

10. Kue kelepon itu enak sekali. BUKAN

11. Gadis berkerudung merah yang cantik. BUKAN

12. Kepala desaku sangat bijaksana dalam memimpin. BUKAN

Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah).  Nilai kebenaran suatu pernyataan sering dituliskan dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S.

Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi dua, yaitu:

a) Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan fakta sesungguhnya.

b) Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturan-aturan logika.

Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu. Keseluruhan obyek-obyek  yang menjadi bahan pembicaraan yang sedang kita lakukan disebut semesta pembicaraan atau semesta disingkat S.

Untuk membicarakan anggota-anggota dari semesta biasanya digunakan lambang. Ada dua macam lambang, yaitu:

a) Konstanta  adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota tertentu dari semesta.

b) Peubah  adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota yang tidak tertentu (sembarang) dari semesta. Peubah terdiri dari peubah bilangan dan peubah pernyataan Peubah bilangan disajikan dengan huruf-huruf kecil x,y,z  Peubah pernyataan disajikan dengan huruf-huruf kecil p,q,r dst.

Kalimat terbuka ialah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat seperti ini masih “terbuka” untuk menjadi pernyataan yang benar atau yang salah.

Contoh:

a. x adalah bilangan bulat.

b. x + 2 > 10

c. x2 -3x + 5 = 0

d. y = 2x + 1

Kita dapat mengubah suatu kalimat terbuka menjadi peryataan dengan mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di dalamnya dengan konstanta dari semestanya. Pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar, bisa bernilai salah.

Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka ialah himpunan semua anggota dari S yang bila lambangnya disubstitusikan ke dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan pernyataan yang benar.

Contoh

S={Biangan Asli}

a. x+2˃10   HP={9 10 11 12 —-}

b. x²-x-6=0   HP={3}

c. x+1˃0   HP=S

d. (2x-1)(x+3)=0   HP={ }

Himpunan penyelesaian harus memuat semua elemen dari semesta yang menghasilkan pernyataan benar.

Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang p ̅ atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila pernyataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.

Contoh:

1. Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (benar)

2. Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (salah)

3. Jikustik bukan sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (salah)

4. Manusia mempunyai tanduk (salah)

5. Manusia tidak mempunyai ekor ( benar)

Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata hubung. Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata hubung, yaitu: (1) …..dan….., (2) …..atau….., (3) jika ………,maka…… (4) ….. jika dan hanya jika …….

Contoh :

a. Bogor adalah kota hujan dan (Bogor) memiliki banyak objek wisata.

b. Dimas pergi ke kampus atau ia nonton film.

c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih.

d. Medan ibukota Sumatera Utara jika dan hanya jika Semarang ibukota Jawa Timur.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan. Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.

Kata hubung kalimat

1. Negasi / kontradiksi / ingkaran (∼)

2. Konjungsi / dan (∧)

3. Disjungsi / atau (∨)

4. Implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat (→)

5. Biimplikasi/bikondisional/pernyataan bersyarat ganda (↔)

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung  ”dan (∧)”

Definisi: Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

Contoh :

a. Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200 juta jiwa.

b. Kerbau berkaki empat dan dapat terbang.

c. 3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau (∨)”

Definisi:

a. Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila sekurang-kurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar.

b. Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

Contoh :

a. Pak Hartono berlangganan harian Kompas atau Kedaulatan Rakyat.

b. Aris pergi ke perpustakaan atau ke kantin.

c. 5 ≤ 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6)

d. A B adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan A atau himpunan B.

e. Bila diketahui bahwa x.y = 0, maka dapat disimpulkan bahwa x =0 atau y = 0.

Pelajari juga: Contoh Soal dan Pembahasan Negasi, Konjungsi dan Disjungsi

Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung ”jika …., maka ….”

Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan yang kedua disebut konsekuen.  Kata hubung ”jika …., maka ….” disajikan dengan lambang ” → ”

Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti, misalnya:

a) Untuk menyatakan suatu syarat: “jika kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk”.

b) Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:” jika kehujanan, maka Tono pasti sakit”.

c) Untuk menyatakan suatu tanda:”jika bel berbunyi, maka siswa masuk ke dalam ruang kelas.

Definisi: Suatu implikasi bernilai benar jika antesedennya salah atau konsekuennya benar.

Contoh

a) Jika Andin adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai kumis.

b) Jika bumi berputar dari timur ke barat maka matahari akan terbit disebelah barat.

c) Jika berat jenis besi lebih dari satu, maka ia akan terapung dalam air.

d) Jika berat jenis besi lebih besat dari satu, maka ia akan terapung dalam air.

e) Jika 3 > 2, maka 6 > 4

f) Jika 3 < 2, maka – 3 > – 2

g) Jika x > 10, maka x > 5

Untuk menyatakan suatu implikasi sebagai suatu pernyataan yang benar ada 3 cara.

Misalnya : mengucapkan “A   →   B” dengan cara:

1. “Jika A, maka B”

2. “B jika A”

3. “A hanya jika B” (karena jika tidak B atau B salah, maka juga tidak A atau A salah)

A  →  B

B juga disebut syarat perlu untuk A. (Suatu syarat disebut syarat perlu jika tidak terpenuhinya (salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan ).

A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena jika A terjadi ( benar) maka B juga berjadi (benar). Lihat baris pertama tabel kebenaran implikasi. (Suatu syarat disebut syarat cukup jika terpenuhinya syarat tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya).

Contoh:

Jika x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2.

x habis dibagi 2 jika x adalah bilangan genap.

x adalah bilangan genap hanya jika x habis dibagi 2.

“x habis dibagi 2“ merupakan syarat perlu agar “x adalah bilangan genap “

“x adalah bilangan genap“ merupakan syarat cukup untuk “ x habis di bagi 2“

Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata hubung tersebut disajikan dengan lambanga “↔ ”

Definisi:  Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Teorema:

a↔b ≡(a→) Ʌ(b→a)

Contoh:

Suatu segitiga disebut sama kaki jika dan hanya jika segitiga itu mempunyai dua sisi yang sama panjang.

Contoh

p→(q ∨ r ) dapat ditulis p→q ∨ r

(~q) ↔ (p ∧ r) dapat ditulis ~q ↔ p ∧ r

((p→(q ∨ r )) ∧ ((~q) ↔ (p ∧ r))) dapat ditulis (p→q ∨ r) ∧ (~q↔ p ∧ r)

Pelajari juga:

1. Proposisi dan Notasi Nilai Kebenaran Proposisi

2. Penarikan Kesimpulan Dalam Logika Matematika

3. Implikasi Dan Biimplikasi

4. Konjungsi Dan Disjungsi

Semoga Bermanfaat