Irisan Kerucut Pada Koordinat Cartesius-Materi

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang irisan kerucut pada koordinat cartesius. Apa itu koordinat kartesius, Gengs bisa mempelajarinya DISINI. Kita akan mengetahui definisi dan teorema dari parabola elips hiperbola dan sebagainya.

1. Irisan Kerucut dalam Koordinat Cartesius
Kurva parabola, elips, dan hiperbola disebut irisan kerucut atau konik karena dapat diperoleh dengan cara mengiriskan sebuah kerucut dengan suatu bidang datar.

1a. Parabola
Definisi dari parabola
Parabola adalah himpunan titik-titik di suatu bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tetap F (disebut fokus) dan suatu garis tetap i (disebut direktriks atau garis arah).
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus diretriks  disebut sumbu parabola. Titik potong antara parabola dan sumbu parabola disebut titik puncak parabola.

Kita peroleh persamaan parabola yang paling sederhana jika kita tempatkan titik puncaknya di titik asal O dan direktriksnya sejajar dengan sumbu-x atau sumbu-y. Jika fokusnya adalah titik (0,p) maka direktriksnya memiliki persamaan y = – p. Grafik parabola membuka ke atas jika p > 0 dan membuka ke bawah jika p < 0. Jika fokusnya adalah titik (p,0) maka rektriksnya memiliki persamaan x = – p. Grafik parabola membuka ke kanan jika p > 0 dan membuka ke kiri jika p <0.

Kita perhatikan parabola dengan fokus di F = (0,p). Jika P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, maka jarak dari P ke fokus adalah
\(\left | PF \right |=\sqrt{(x-0)^2 +(y-p)^2}\)
dan jarak dari P ke direktriks adalah |y + p|.
Dengan menyamakan kedua jarak ini maka kita peroleh persamaan parabola x² =4py.

Teorema 1
Persamaan parabola dengan fokus (0,p) dan direktriks y = – p adalah x² =4py. Persamaan parabola dengan fokus (p,0) dan direktriks x = – p adalah y² =4px.

1b. Elips
Definisi dari elips
Elips adalah himpunan titik-titik di suatu bidang datar dimana jumlah jarak dari titik itu ke dua titk tetap F₁ dan F₂ (disebut fokus) adalah konstan.
Jadi elips memiliki dua fokus.

Salah satu hukum Kepler mengatakan bahwa orbit planet-planet dalam sistem tatasurya adalah berbentuk elips dengan matahari sebagai salah satu fokusnya.
Elips mempunyai sifat pencerminan yang menarik. Jika sebuah sumber cahaya atau suara diarahkan ke salah satu fokus suatu cerminan berbentuk elips, maka cahaya atau suara tersebut dipantulkan dari permukaan cermin ke fokus lainnya.
Untuk memperoleh persamaan paling sederhana dari suatu elips, kita letakkan ke dua fokusnya pada sumbu-x atau sumbu-y, sehingga titik pusat elips (titik yang berada di tengah-tengah kedua fokusnya) berada di titik  asal O.

Kita perhatikan elips dengan fokus di titik F₁(-c,0) dan F₂(c,0). Jika P(x,y) adalah sembarang titik pada elips, maka jumlah jarak dari P ke fokus F₁ dan F₂ adalah konstan, misalkan 2a, dengan a > 0. Jadi kita peroleh |PF₁| + |PF₂| = 2a, atau \(\sqrt{(x+c)^2 +y^2}+\sqrt{(x-c)^2 +y^2}=2a\)
Jika \(b=\sqrt{a² -c²}\), maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
Karena b² =a² -c²< a² maka 0< b< a. Titik potong elips dengan sumbu-x diperoleh dengan mengambil y = 0, yaitu di titik (a,0) dan (-a,0). Kedua titik ini disebut puncak elips dan garis yang menghubungkannya disebut sumbu mayor elips.
Titik potong elips dengan sumbu-y terjadi saat x = 0, yaitu di titik (0,b) dan (0,-b). Garis yang menghubungkan ke dua titik ini disebut sumbu minor elips.

Teorema 2
Persamaan elips dengan fokus \((\pm c,0)\) dan titik puncak \((\pm a,0)\) adalah \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ,\( a\geq\) \(b> 0\) dengan b² =a² -c².
Persamaan elips dengan fokus \((0,\pm c\)) dan titik puncak \((0,\pm a)\) adalah \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\), \(a\geq\)

\(b> 0\) dengan b²=a²-c².
Jika suatu elips memiliki fokus \((\pm c,0)\) dan titik puncak \((\pm a,0)\) atau fokus \((0,\pm c)\) dan titik puncak \((0,\pm a)\), maka bilangan e = c/a disebut keeksentrikan dari elips yang bersangkutan.
Batasan nilai e a adalah \(0\leq e< 1\). Jika e = 0 maka elips tersebut adalah lingkaran, dan semakin dekat nilai e ke 1 maka bentuk elips yang bersangkutan semakin kurus panjang.

1c. Hiperbola
Definisi dari Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan titik-titik di suatu bidang datar di mana selisih jarak dari titik itu ke dua titik tetap \(F_{1}\) dan \(F_{2}\) (disebut fokus) adalah konstan. Jadi, seperti elips, hiperbola juga memiliki dua fokus.
Untuk memperoleh persamaan paling sederhana dari suatu hiperbola, kita letakkan ke dua fokusnya pada sumbu-x atau sumbu-y, sehingga titik simetris hiperbola (titik yang berada ditengah-tengah kedua fokusnya) berada di (0,0).

Kita perhatikan suatu hiperbola dengan fokus di titik \(F_{1}(-c,0)\) dan \(F_{2}(c,0)\). Jika P(x,y) adalah sembarang titik pada hiperbola, maka selisih jarak dari P ke fokus \(F_{1}\) dan \(F_{2}\) adalah konstan, misalkan \(\pm 2a\), dengan a > 0. Jadi kita peroleh , atau \(\left | PF_{1} \right |-\left | PF_{2} \right |=\pm 2a\)
Jika \(b=\sqrt{c^2-a^2}\), maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
Titik potong hiperbola dengan sumbu-x diperoleh dengan mengambil y = 0, yaitu di titik (a,0) dan (-a,0). Kedua titik ini disebut puncak hiperbola. Jika kita ambil x = 0, maka \(y^2 = -b^2\), sehingga tidak ada bilangan real yang memenuhi. Jadi hiperbola di atas tidak memotong sumbu-y.

Teorema 3
1. Hiperbola
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) mempunyai fokus \((\pm c,0)\) dengan \(c^2=a^2+b^2\), titik puncak \((\pm a,0)\), asimtot \(y=\pm (b/a)x\)

2. Hiperbola
\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\) mempunyai fokus \((0,\pm c)\) dengan c²=a²+b², titik puncak \((0,\pm a)\), dan asimtot \(y=\pm (a/b)x\)

Irisan Kerucut yang Digeser
Sejauh ini, kita meletakkan irisan kerucut pada sebuah sistem koordinat dalam kedudukan yang istimewa, yaitu sumbu panjangnya berimpit dengan salah satu sumbu koordinat, serta menggunakan titik asal (0,0) sebagai: puncak parabola, titik pusat elips, dan titik simetris hiperbola.
Sekarang kita bahas persamaan irisan kerucut dengan kedudukan yang lebih umum, tetapi sumbu panjangnya masih sejajar dengan salah satu sumbu koordinat. Persamaan yang lebih umum ini dapat diperoleh dengan teknik penggeseran (translasi)

Jika parabola x² =4py digeser ke kanan sejauh h dan digeser ke atas sejauh k, maka kita peroleh persamaan parabola dengan x dan y diganti berturut-turut x – h dan y – k, yaitu (x-h)2 =4p(y-k).
Dengan demikian, Teorema 1 dapat diperumum sebagai berikut.

Teorema 4
Parabola (x-h)² =4p(y-k) mempunyai fokus di (h,p+k) dan direktriks y = k – p. Parabola (y-k)² =4p(x-h) mempunyai fokus di (p + h, k) dan direktriks x = h – p.

Perhatikan bahwa pada Teorema 1 puncak parabola berada di titik asal (0,0), tetapi pada Teorema 4 puncak parabola berada di titik (h,k). Jadi Teorema 1 adalah bentuk khusus dari teorema 4, yaitu untuk kasisi mana h = 0 dan k = 0.
Sehingga parabola pada Teorema 4 dapat diperoleh dengan menggeser titik puncak parabola pada teorema 1 dari titik asal (0,0) ke titik (h,k). Oleh karena itu, parabola yang baru disebut irisan kerucut yang digeser.
Untuk pemikiran serupa yang diterapkan untuk elips, maka Teorema  2 dapat diperumum sebagai berikut

Teorema 5
1. Elips
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,a\geq b> 0\)
mempunyai fokus (h± c,k) dan titik puncak (h ± a,k), dengan \(c=\sqrt{a^2 -b^2}\)
2. Elips
\(\frac{(x-h)^2}{b^2}-\frac{(y-k)^2}{a^2}=1,a\geq b> 0\)
mempunyai fokus di (h,k± c) dan titik puncak (h,k± a), dengan \(c=\sqrt{a^2 -b^2}\)
Perhatikan bahwa titik pusat elips pada Teorema 5 adalah di titik (h,k) .

Teorema 6
1. Hiperbola
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
mempunyai fokus (h ± c,k) dengan c²=a² +b², titik puncak (h ± a,k), dan asimtot y= ± (b/a) x.
2. Hiperbola
\(\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)²}{b²}=1\)
mempunyai fokus c²=a² +b², titik puncak (h,k ± a), dan asimtotot y= ± (a/b) x
Titik simetris hiperbola pada Teorema 6 adalah di titik (h,k).

2. Irisan Kerucut dalam Koordinat Polar
Pada bagian ini kita berikan suatu pendekatan yang lebih terpadu untuk ketiga janis irisan kerucut berdasarkan fokus dan direktriksnya. Agar diperoleh persamaan polar yang relatif sederhana, kita letakkan fokus dari irisan kerucut tersebut di titik asal.

Teorema7
Misalkan F adalah titik tetap (disebut fokus) dan l adalah garis tetap (disebut direktriks) pada suatu bidang datar. Misalkan e adalah bilangan positif tetap (disebut keeksentrikan atau eksentrisitas). Himpunan titik P pada bidang sedemikian rupa sehingga \(\frac{\left | PF \right |}{\left | Pl \right |}=e\), yaitu rasio jarak dari P ke F terhadap jarak dari P ke l adalah konstanta e, adalah suatu irisan kerucut. Irisan kerucut tersebut merupakan:
1. Sebuah elips jika e < 1
2. Sebuah parabola jika e = 1
3. Sebuah hiperbola jika e > 1

Teorema 8
Persamaan polar yang terbentuk
1. \(r=\frac{ed}{1\pm ecos \theta }\)
2. \(r=\frac{ed}{1\pm esin \theta }\)
menyatakan suatu irisan kerucut dengan fokus (atau salah satu fokusnya) di titik asal dan keeksentrikan e. Irisan kerucut tersebut adalah
1. Sebuah elips jika e < 1,
2. Sebuah parabola ji e = 1 dan
3. Sebuah hiperbola jika e > 1.
Pada kasus 1 direktriksnya adalah garis y= ±d, sedangkan pada kasus 2 direktriksnya adalah garis y= ±d.

Semoga Bermanfaat