Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar
Soal 1
Sederhanakan bentuk aljabar berikut :
a. 3ab + 5ab
b. 12y + 7 + 3y + 2
c. 5p – 6p² – 4p + 9p²
Penyelesaian a:
3ab + 5ab = 8ab
Penyelesaian b:
12y + 7 + 3y + 2
= (12y + 3y) + (7 + 2)
= 15y+9
Penyelesaian c:
5p – 6p² – 4p + 9p²
= (-6p² + 9p²) + (5p – 4p)
= 3p² + p
Soal 2
Tentukan bentuk sederhana dari 4(3x + 2) – 3(6x – 5)!
Penyelesaian
4(3x + 2) – 3(6x – 5)
= 4.3x + 4.2 – (3.6x – 3.5)
= 12x + 8 – (18x – 15)
= 12x + 8 – 18x + 15
= 12x – 18x + 8 + 15
= -6x + 23
Soal 3
Tentukan bentuk paling sederhana dari 4(2x – 5y) – 5(x + 3y)!
Penyelesaian :
4(2x – 5y) – 5(x + 3y)
= 4(2x – 5y) – 5(x + 3y)
= 4.2x – 4.5y – (5.x + 5.3y)
= 8x – 20y – (5x + 15y)
= 8x – 20y – 5x – 15y
= 3x – 35y
Soal 4
Bentuk 3x ( x – 3) – 2x ( x + 1) + x – 2) dapat disederhanakan menjadi?
Penyelesaian:
3x ( x – 3) – ( 2x ( x + 1) + x – 2)
= (3x.x – 3x.3) – ( 2x.x + 2x.1 + x – 2)
= 3x² – 9x – (2x² + 2x + x – 2)
= 3x² – 9x – 2x² – 2x – x + 2
= 3x² – 2x² – 9x – 2x – x + 2
= x² – 12x + 2
Soal 5
Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. (2x + 8) + (4x – 5 – 5y)
b. (3p + q) + (–2p – 5q + 7)
c. 2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)
d. (3x² + 2x – 1) + (x² – 5x + 6)
Penyelesaian a
(2x + 8) + (4x – 5 – 5y)
= 2x + 8 + 4x – 5 – 5y
= (2x + 4x) – 5y + (8 – 5)
= 4x – 5y + 3
Penyelesaian b
(3p + q) + (–2p – 5q + 7)
= 3p + q –2p – 5q + 7
= (3p – 2p) +(q – 5q) + 7
= p – 4q + 7
Penyelesaian c
2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)
= 2x + 4y – 2xy + (10x – 15y + 25xy)
= 2x + 4y – 2xy + 10x – 15y + 25xy
= (2x + 10x) + (4y – 15y) + (-2xy + 25xy)
= 12x – 11y + 23xy
Penyelesaian d
(3x² + 2x – 1) + (x² – 5x + 6)
= 3x² + 2x – 1 + x² – 5x + 6
= (3x² + x²) + (2x – 5x) + ( – 1 + 6)
= 4x² – 3x + 5
Soal 6
Tentukan hasil penjumlahan dari -7x + 5 dan 2x – 3!
Penyelesaian
-7x + 5 – (2x – 3)
= -7x + 5 – 2x + 3
= -7x – 2x + 5 + 3
= -9x + 8
Soal 7
Tentukan hasil penjumlah dari 2p + 3q – 4 dan p – 3q + 2 !
Penyelesaian
(2p + 3q – 4) + (p – 3q + 2)
= 2p + 3q – 4 + p – 3q + 2
= 2p + p + 3q – 3q – 4 + 2
= 3p – 2
Soal 8
Tentukan hasil penjumlah dari 6xy + 3yz + 4z dan 3yz + 4yx – 4z!
Penyelesaian
6xy + 3yz + 4z + (3yz + 4yx – 4z)
= 6xy + 3yz + 4z + 3yz + 4yx – 4z
= 6xy + 4xy + 3yz + 3yz + 4z– 4z
= 10xy + 6yz
Soal 9
Tentukan penjumlah dari 4x + 5y – 8z dan x – 2y – 3z!
Penyelesaian
4x + 5y – 8z + (x – 2y – 3z)
= 4x + 5y – 8z + x – 2y – 3z
= (4x + x) + (5y – 2y) + (-8z – 3z)
= 5x + 3y – 11z
Soal 10
Tentukan hasil pengurangan 2b – 3a + 5c dari 5a – 2c – 3b!
Penyelesaian:
5a – 2c – 3b – (2b – 3a + 5c)
= 5a – 2c – 3b – 2b + 3a – 5c
= 5a + 3a– 3b – 2b – 5c– 2c
= 8a – 5b -7c
Soal 11
Tentukan hasil pengurangan 4y² – 3y + 2 dari 2(5y² – 3)!
Penyelesaian
2(5y² – 3) – (4y² – 3y + 2)
= 10y² – 6 – 4y² + 3y – 2
= (10 – 4)y² + 3y + (–6 – 2)
= 6y² + 3y – 8
Soal 12
Apabila – 5(y – 2) dikurangkan dari 7(y + 1) maka hasilnya adalah!
Penyelesaian
7(y + 1) – (- 5(y – 2))
= 7y + 7 – (-5y + 10)
= 7y + 7 + 5y – 10
= 7y + 5y + 7 – 10
= 12y – 3
Soal 13
Misalkan diberikan P = 4x² + 3x dan Q = 5x – x², maka tentukan nilai dari P – 2Q!
Penyelesaian
P – 2Q
= 4x² + 3x – 2(5x – 2x²)
= 4x² + 3x – (2.5x – 2.2.x²)
= 4x² + 3x – 10x + 2x²
= 4x² + 2x² + 3x – 10x
= 6x² – 7x
Soal 14
Tentukan hasil pengurangan – 3(2p + 1) dari p + 5!
Penyelesaian
p + 5 – (– 3(2p + 1))
= p + 5 – ( – (3.2p + 3.1))
= p + 5 – ( –(6p + 3))
= p + 5 – (-6p – 3)
= p + 5 + 6p + 3
= 7p + 8
Perkalian Bentuk Aljabar
Pada perkalian aljabar ini, terdapat perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar dan perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb
Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd
Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.
(ax + b) (cx² + dx + e)
= ax(cx²) + ax(dx) + ax(e) + b(cx² ) + b(dx) + b(e)
= acx³ + adx³ + aex + bcx² + bdx + be
= acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x + be
Berikut ini adalah contoh-contohnya.
Soal 1
Tentukan hasil dari (2x + 3)(3x – 5)!
Penyelesaian
(2x + 3)(3x – 5)
= 2x(3x – 5) + 3(3x – 5)
= (2x.3x – 2x.5) + (3.3x – 3.5)
= 6x² – 10x + 9x – 15
= 6x² – x – 15
Soal 2
Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut ini.
a. 2(x + 3)
b. –5(9 – y)
Penyelesaian a:
2(x + 3) = 2x + 6
Penyelesaian b:
-5(9 – y) = –45 + 5y
Soal 3
Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan!
a. (x + 5)(x + 3)
b. (x – 4)(x + 1)
Penyelesaian a:
(x + 5)(x + 3)
= (x + 5)x + (x + 5)3
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
Penyelesaian b:
(x – 4)(x + 1)
= (x – 4)x + (x – 4)1
= x² – 4x + x – 4
= x² – 3x – 4
Soal 4
Tentukan hasil perkalian dari (p – 3q) dan (2p + 5q)!
Penyelesaian
(p – 3q)(2p + 5q)
= p(2p + 5q) – 3q(2p + 5q)
= (p.2p + p.5q) – (3q.2p + 3q.5q)
= 2p² + 5pq – (6pq + 15q²)
= 2p² + 5pq – 6pq – 15q²
= 2p² – pq – 15q²
Soal 5
Tentukan hasil perkalian dari bentuk aljabar berikut.
1. (x + 2) (x + 3)
2. (2x + 3) (x² + 2x – 5)
Penyelesaian :
Untuk menyelesaiakn soal bagian 1 ini kita akan menggunakan sifat distributif
(x + 2) (x + 3)
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
Soal bagian 2 ini juga akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat distributif
(2x + 3) (x² + 2x – 5)
= 2x(x² + 2x – 5) + 3(x² + 2x – 5)
= 2x³ + 4x² – 10x + 3x² + 6x – 15
= 2x³ + 4x² + 3x² – 10x + 6x – 15
= 2x³ + 7x² – 4x – 15
Perpangkatan Bentuk Aljabar
Berikut ini merupakan uraian singkat tentang segitiga pascal.
(a + b)¹ = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)² = (a + b) (a + b)
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
koefisien a² , ab, dan b² adalah 1 2 1
(a + b)³ = (a + b) (a + b)²
= (a + b) (a² + 2ab + b² )
= a³ + 2a² b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + ab² + b³ adalah 1 3 3 1
(a + b)⁴ = (a + b)² (a + b)²
= (a² + 2ab + 2ab + b²)
= a⁴ + 2a³^3 b + a² b² + 2a³b + 4a² b² + 2ab³ + a²b² + 2ab³ + b⁴
= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
koefisien a⁴ , a³b, a²b² , ab³ , dan b⁴ adalah 1 4 6 4 1
Demikian seterusnya untuk \((a + b)^n\) dengan n bilangan asli.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien \((a + b)^n\) membentuk barisan segitiga Pascal. Dengan demikian (a + b)⁵, (a + b)⁶ dan seterusnya dapat kita tentukan dengan mudah.
Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku
\(a^n\) = a x a x a x … x a (sebanyak n kali)
Tips dalam menyelesaikan perpangkatan aljabar :
a. Memahami bentuk perpangkatan
b. Memahami pola dalam segitiga paskal
c. Mensubstitusikan dari bentuk perpangkatan aljabar ke dalam pola segitiga paskal
Berikut ini contoh soalnya.
Soal 1
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut:
a. (2x + 3)⁴
Penyelesaian:
(2x + 3)⁴
= 1(2x)⁴ + 4(2x)³(3) + 6(2x)²(32 ) + 4\((2x)^1\) (33 ) + 1(34 )
= 1(16x⁴) + 4(8x³)(3) + 6(4x²)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)
= 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81
Soal 2
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut:
(x + 4y)³
Penyelesaian:
(x + 4y)³
= 1(x³ ) + 3(x²)(4y) 1 + 3x (4y)² 2 + 1(4y) 3
= 1x³ + 3x²(4y) + 3x(16y²) + 1(64y³)
= x³ + 12x² y + 48xy² + 64y³
Pembagian Bentuk Aljabar
Soal
Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
a. 5xy : 2x
b. 6x³ : 3x²
c. 8a²b³ : 2ab
d. (p²q x pq) : p² q²
Penyelesaian:
a. 5xy : 2x
= (5xy) / (2x)
= (5y . x) / (2 . x)
= 5y / 2
b. 6x³ : 3x²
= (6x³) / (3x²)
= (3x². 2x) / (3x²)
= 2x
c. 8a² b³ : 2ab
= (8a² b³) / (2ab)
= (2ab . 4ab²) / (2ab)
= 4ab²
d. (p²q x pq) : p² q²
= (p² q x pq) / (p² q² )
= (p³q²) / (p²q²)
= (p² . p . q²) / (p²q²)
= p
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Soal 1
Carilah hasil pemfaktoran dari 3x² + 8x – 3!
Penyelesaian:
3x² + 8x – 3
Diketahui: a = 3, b = 8, dan c = -3.
Tentukan bilangan yang apabila ditambah hasilnya 8, dan apabila dikali hasilnya -9.
Bilangan tersebut adalah 9 dan -1 maka:
3x² + 8x – 3
= 3x²^2 + 9x – x – 3
= 3x(x + 3) – (x + 3)
= (3x – 1)(x + 3)
Soal 2
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini:
a. 2x + 2y
b. x² + 3x
c. a² + ab
d. pq² r³ + 2p² qr + 3pqr
Penyelesaian: a⁴ , a³b, a²b² , ab³ , dan b⁴
a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga 2x + 2y = 2(x + y).
b. x²+ 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga x² + 3x = x(x + 3).
c. a² + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga a² + ab = a(a + b).
d. pq² r³ + 2p²qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr, sehingga pq² r³ + 2p² qr + 3pqr = pqr(qr² + 2p + 3).
Soal 3
Faktorkanlah bentuk aljabar
berikut.
a. x² – 4
b. a² – 9b²
c. 4p² – 36
d. 9x² – 25y²
Penyelesaian:
a. x² – 4 = x² – 2²
= (x – 2) (x + 2)
b. a² – 9b² = a² – (3b)²
= (a – 3b) (a + 3b)
c. 4p² – 36 = (2p)² – 6²
= (2p – 6) (2p + 6)
d. 9x² – 25y² = (3x)² – (5y)²
= (3x – 5y) (3x + 5y)
Soal 4
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini:
a. p² + 2pq + q²
b. x² – 4x + 4
Penyelesian:
a. p² + 2pq +q²
= p² + pq + pq + q²
= (p² + pq) + (pq + q²)
= p(p + q) + q(p + q)
= (p + q)(p + q)
= (p + q)²
b. x² – 4x + 4
= x² – 2x – 2x + 4
= (x² – 2x) – (2x – 4)
= x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2) (x – 2)
= (x – 2)²
Soal 5
Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x² + 4x + 3
b. x² – 13x + 12
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x² + bx + c dengan c positif ialah sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
a. x² + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
b. x² – 13x + 12 = (x – 1) (x – 12)
Soal 6
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut.
a. x² + 4x – 12
b. x² – 15x – 16
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x² + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.
a. x² + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)
b. x² – 15x – 16 = (x + 1) (x – 16)
Soal 7
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini :
a. 3x² + 14x + 15
b. 8x² + 2x – 3
Penyelesaian a:
Memfaktorkan 3x² + 14x + 15.
Langkah-langkah pemfaktoran ax² + bx + c, a # 1 untuk c positif sebagai berikut.
– Jabarkan a . c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
3x² + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 . 15 = 45 dan jumlahnya 14 adalah 5 dan 9, sehingga
3x² + 14x + 15
= 3x² + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
3x² + 14x + 15
= 1/3 (3x + 5) (3x + 9)
= 1/3 (3x + 9)(3x + 5)
= 1/3 . 3 ( x + 3)(3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Jadi, 3$x^2$ + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).
Penyelesaian b :
Memfaktorkan 8x² + 2x – 3.
Langkah-langkah pemfaktoran ax² + bx + c, a # 1 dengan c negatif sebagai berikut.
– Jabarkan a u c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih
kecil bertanda sebaliknya.
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif.
Pertama-tama, kita harus menentukan dua bilangan yang hasil kalinya ac = 8 x 3 = 24 dan selisihnya 2. Kita akan peroleh bilangan 4 dan 6, dimana 4 . 6 = 24 dan selisih antara 4 dan 6 adalah 2. Sehingga
8x² + 2x – 3
= 8x² – 4x + 6x – 3
= 4x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (4x + 3) (2x – 1)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
8x² + 2x – 3
= 1/8 (8x – 4) (8x + 6)
= 1/4 . 1/2 . (8x – 4) (8x + 6)
= 1/4 (8x – 4) . 1/2 (8x + 6)
= 1/4 . 4(2x – 1) . 1/2 . 2(4x + 3)
= (2x – 1) (4x + 3)
Jadi, 8x² + 2x – 3 = (2x – 1) (4x + 3).
Penerapan Aljabar dalam Kehidupan Sehari-hari
Berikut contoh penerapan aljabar dalam kehidupan sehari-hari :
Soal 1
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita misalkan :
Buku = B
Pensil = P
Maka :
3B + 5P = Rp. 11.000,00
B + 2P = Rp. 4.000,00
Untuk mempermudah perhitungan, kita sederhanakan dua bentuk aljabar di atas (sifatnya hanya sementara) sebagai berikut:
3B + 5P = 11
B + 2P = 4
Ditanya: B = ? P = ?
Jawab:
Untuk mencari B dan P kita harus ubah B + 2P = 4 menjadi B saja, maka :
B + 2P = 4
B + 2P – 2P = 4 – 2P
B = 4 – 2P
Jika B = 4 – 2P, maka 3B + 5P = 11 menjadi,
3( 4 – 2P) + 5P = 11
12 – 6P + 5P = 11
12 – P = 11
12 – P – 12 = 11 – 12
-p = -1
-p x -1 = -1 x -1
p = 1
Jadi harga 1 pensil sama dengan Rp.1.000,00
Kemudian kita cari harga sebuah buku dengan cara memasukan p = 1 kedalam 3B + 5P = 11 maka :
3B + 5(1) = 11
3B + 5 = 11
3B = 11 – 5
3B = 6
3B x 1/3 = 6 x 1/3
B = 2
Jadi harga 1 buku sama dengan Rp.2.000,00
Maka harga 1 buku dan 1 pensil adalah Rp.2.000,00 dan Rp.1.000,00
Soal 2
Penyelesaian:
Kita anggap harga jual pempek itu sebagai x.
Maka diperoleh:
x = (60.000/10) + 2.000
x = 6.000 + 2.000
x = 8.000
Jadi, harga jual yang bisa diterapkan agar laba satu pempek Rp 2.000 adalah sebesar Rp 8.000,00.
Soal 3
Sekarang umur seorang adik 5 tahun kurangnya dari umur kakak. Lima tahun kemudian jumlah umur kakak dan adik menjadi 35 tahun. Tentukanlah masing-masing umurnya.
Penyelesaian:
Misalkan umur kakak sekarang adalah x tahun, maka umur adik (x – 5) tahun.
Lima tahun kemudian umur kakak x + 5 dan umur adik adalah (x – 5) + 5 = x tahun.
Jumlah umur mereka 5 tahun lagi adalah 35 tahun, maka model matematikanya adalah:
x + 5 + x = 35, kita lanjutkan penyelesaiannya
2x + 5 = 35
2x = 30
x = 15
Jadi, umur kakak sekarang adalah 15 tahun dan adik adalah 15 – 5 = 10 tahun.
Demikian contoh-contoh soal tentang “Aljabar Kelas 8“. Jangan lupa untuk banyak berlatih contoh-contoh soal yang lebih banyak lagi ya Gengs.
Semoga Bermanfaat
