Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Nomor 1
Buktikan bahwa barisan $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}$ dengan $a_{n}=frac{2n+3}{n}$ untuk $ngeq 1$ adalah barisan yang konvergen ke 2.

Jawab:
Akan dibuktikan :
$lim_{nrightarrow infty }frac{2n+3}{n}=2$  $Leftrightarrow n> NRightarrow begin{vmatrix} frac{2n+3}{n}-2 end{vmatrix}< epsilon$

misal: $begin{vmatrix} frac{2n+3}{n}-2 end{vmatrix}< epsilon$
           $begin{vmatrix} frac{2n+3-2n}{n} end{vmatrix}< epsilon$
           $begin{vmatrix} frac{3}{n} end{vmatrix}< epsilon$
           $n> frac{3}{epsilon } Rightarrow N=frac{3}{epsilon }$

akan dibuktikan: jika $n> frac{3}{epsilon }$ maka $begin{vmatrix} frac{2n+3}{n}-2 end{vmatrix}< epsilon$

misalkan:
$n> frac{3}{epsilon }$
akan dibuktikan:
$begin{vmatrix} frac{2n+3}{n}-2 end{vmatrix}< epsilon$

Bukti:
$n> frac{3}{epsilon }$
$epsilon > frac{3}{n }$
$epsilon > begin{vmatrix} frac{3}{n} end{vmatrix}$
$epsilon > begin{vmatrix} frac{3+2n-2n}{n} end{vmatrix}$
$epsilon > begin{vmatrix} frac{3+2n}{n}-2 end{vmatrix}$
 maka TERBUKTI bahwa  barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 2

$begin{Bmatrix} frac{(n+sin ^{2}n)}{(2n+3)} end{Bmatrix}$

Dengan menggunakan teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
$frac{n}{2n+3}leq frac{(n+sin ^{2}n)}{(2n+3)}leq frac{n+1}{2n+3}$
$a_{n}=frac{n}{2n+3}$
$lim_{nrightarrow infty }frac{n}{2n+3}=frac{1}{2}$

$c_{n}=frac{n+1}{2n+3}$
       $lim_{nrightarrow infty }frac{n+1}{2n+3}=frac{1}{2}$
Karena $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}textrm{dan} begin{Bmatrix} c_{n} end{Bmatrix}$ adalah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka berdasarkan teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.

Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
$begin{Bmatrix} frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya adalah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$lim_{nrightarrow infty }frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan mudah dapat diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$begin{Bmatrix} (-1)^{n}(ln n^{2})/(n) end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama seperti cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$lim_{nrightarrow infty }begin{vmatrix} frac{(-1)^n(ln n^{2})}{n} end{vmatrix}=lim_{nrightarrow infty }frac{|ln n^{2}|}{|n|}$
                                $=lim_{nrightarrow infty }frac{ln n^{2}}{n}$
                                $=lim_{nrightarrow infty }frac{frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
                                $=lim_{nrightarrow infty }frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.

Nomor 5
$a_{n}=frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa barisan $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 jika $nrightarrow infty$

Jawab:
Diketahui:

$forall epsilon > 0,exists Nni n> N$
maka $|a_{n}-3|< epsilon$

Misal:
$|a_{n}-3|< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{3n+5-3n}{n} end{vmatrix}< epsilon$
$begin{vmatrix} frac{5}{n} end{vmatrix}< epsilon$
$Rightarrow frac{5}{epsilon }< n$
$Rightarrow N=frac{5}{epsilon }$

akan dibuktikan: jika $n> frac{5}{epsilon }Rightarrow begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}< epsilon$
misal : $n> frac{5}{epsilon }$
adb: $n> frac{5}{epsilon }$

Bukti:
$n> frac{5}{epsilon }$
$Leftrightarrowepsilon > frac{5}{n}$
      $epsilon >| frac{5}{n}|$
      $epsilon >begin{vmatrix} frac{5+3n-3n}{n} end{vmatrix}$
      $epsilon >begin{vmatrix} frac{3n+5}{n}-3 end{vmatrix}$
Maka terbukti $begin{Bmatrix} a_{n} end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.