Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan
- Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)
- Biaya marjinal suatu produk.
- Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.
- Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh
- Laju penyebaran informasi, gosip.
- Laju peluruhan bahan radioaktif.
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan
Definis turunan fungsi pada suatu titik
Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f'(a), adalah
asalkan limit tersebut ada
Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau -∞), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.
Perhatikan gambar (a) berikut:
Ilustrasi geometris definisi turunan pada titik.
Alternatif Formula Turunan
Jika pada definisi diambil x = a + h, maka diperoleh alternatif formula sebagai berikut:
dapat di lihat pada gambar di atas bagian (b)
Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
- Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f ‘(a), yakni turunan f di x = a.
- Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah y – f(a) = f ‘(a) (x – a)
Ilustrasi geometris persamaan garis singgung
Turunan Sebagai Fungsi
- 1. Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan
-
dan
sehingga akan diperoleh fungsi f ‘ dengan
- 2. f ‘ pada turunan di atas merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f .
- 3. Daerah asal f’, Df ‘ = {x : f ‘ (x) ada}
- 4. Nilai f ‘(a) juga dapat dihitung dari turunan di atas kemudian mengevaluasi f ‘(x)
untuk x = a.
Tafsiran Lain Turunan
Notasi Lain Turunan
Misalkan y = f (x).
Beberapa notasi yang menyatakan turunan f
Catatan: notasi dy/dx, df/dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.
Aplikasi Turunan [Fisika: Kecepatan sesaat]
- Nilai f ‘(a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap x di x = a.
- Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,
1) Kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah
2) Laju objek pada saat t = a adalah |f ‘(a) |, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.
Aplikasi Turunan [ Ekonomi, Demografi]
- Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton),
bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f ‘(x) dikenal sebagai biaya marjinal.
- Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun),
bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun)
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Tidak fungsi tidak mempunya turunan apabila, seperti gambar di bawah ini.
Rumus-Rumus Turunan
Rumus Turunan
Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de.nisi turunan.
Teorema turunan fungsi
Misalkan u = f(x), v = g(x), dan c merupakan suatu konstanta. Maka:
Teorema turunan fungsi pangkat
Jika n sembarang bilangan real, maka
Turunan Fungsi Sesepenggal
Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisi turunan.
Teorema [Turunan fungsi sesepenggal]
Andaika f kontinu di a serta \(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)\) dan \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\) ada. Fungsi f terturunkan di a jika dan hanya jika \(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)\) = \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\) dan \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\).
Turunan Fungsi Trigonometri
Limit penting
\(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta }{\theta }=1\)
\(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1-\cos \theta }{\theta }=0\)
Turunan Sinus Cosinus
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x = \cos x\)
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos x = -\sin x\)
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan dari trigonometri sebagai berikut:
Baca juga lanjutan tentang turunan DISINI
Demikian “Turunan Fungsi, Kaitan Antara Turunan dan Kekontinuan dan Rumus Turunan [Part 1]“. Semoga bermanfaat.
