Aturan Rantai, Turunan Implisit, Turunan Tingkat Tinggi dan Laju Terkait ( Part 2)

Misalkan f(u) terturunkan di u=g(x) dan g(x) terturunkan di x, maka fungsi komposit (f o g) (x) terturunkan di x dan (f o g)’ (x) = f ‘ (g(x))g'(x)
Dengan notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\)

Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisi dua fungsi)

Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisinya lebih dari dua fungsi)

Turunan Implisit

Fungsi Eksplisit : y=f(x))
contohnya, y= 2x-1 , \(y=\sqrt{1-x^{2}}\)

Fungsi Implisit: F(x,y)=c. Dengan c (konstanta) dan dengan asumsi y fungsi terhadap x
Contohnya:
y-2x-1=0
x²+y²=1
sin(xy)+2x²=3

Langkah-langkah menurunkan fungsi implisit:
1. Turunkan kedua ruasnya terhadap x
2. Gunakan aturan rantai
3. Kemudian tentukan \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)

Turunan Fungsi Pangkat Rasional

Teorema

Misalkan p, q adalah bilangan bulat,
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{p/q}=\frac{p}{q}x^{p/q-1}, q\neq 0\)

Turunan Tingkat Tinggi

Aplikasi Turunan Kedua dalam Penentuan Percepatan

Jika s = f(t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka:

• \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=f'(t)\) menyatakan kecepatan objek pada waktu t
• \(a(t)=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} ^{2}s}{\mathrm{d} t^{2}}=f”(t)\) menyatakan percepatan objek pada waktu t

Laju Terkait

Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.

Makna dari tanda laju:
Misalkan:
\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}> 0\)
apabila t membesar maka x membesar
apabila t mengecil maka x mengecil

\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}< 0\)
apabila t membesar maka x  mengecil
apabila t mengecil maka x membesar

\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=0\)
maka x-nya konstan

Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

• Pahami permasalahan.
• Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang merupakan fungsi terhadap waktu
• Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
• Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
• Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.
• Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.