Faktor dan Bilangan Prima : Soal + Pembahasan

Bilangan Prima

Apa itu bilangan??
Baca selengkapnya tentang bilangan  DISINI

Apa itu bilangan prima??
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, 7 adalah bilangan prima karena faktor-faktor dari 7 adalah 1 dan 7. Bilangan-bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan seterusnya.
Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima karena ia hanya mempunyai satu faktor dan 4 bukanlah bilangan prima karena 4 dapat dibagi dengan angka 2.

Contoh Bilangan Prima
Bilangan prima yang kurang dari 20
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Bilangan prima yang kurang dari 50
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Bilangan prima yang berada pada rentang [40,100]
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Bilangan prima yang kurang dari 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Bilangan prima tiga digit pertama
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263

Bilangan prima empat digit pertama
1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181

Bilangan prima terbesar
Tidak ada bilangan prima terbesar karena jumlah bilangan yang tak tehingga. Tahun 2007 ditemukan bil prima 2^23.582.657-1. Bilangan ini terdiri dari 9.808.358 digit.

Faktor Prima

Apa itu faktor prima??
Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan bulat yang merupakan bilangan prima. Faktor prima dapat digunakan untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan bulat.

Bagaimana cara mencari faktor prima dari sebuah bilangan?
Untuk mencari faktor prima dari sebuah bilangan, kita dapat membagi bilangan itu dengan bilangan prima secara berulang-ulang.

Soal: Carilah faktor prima dari 16
Jawab:

2 adalah
bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya
adalah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam
langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan
sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut
kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 16 adalah 2 × 2 × 2 ×2

Soal: Carilah faktor prima dari 36
Jawab:

3 adalah bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya adalah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 36 adalah 2 × 2 × 3 × 3

Soal: Carilah faktor prima dari 72
Jawab:

3 adalah
bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya
adalah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam
langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan
sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut
kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 72 adalah 2 × 2 × 2 × 3 × 3

Faktor Persekutuan Terbesar [FPB]
Faktor Persekutuan Terbesar [FPB] dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis kedua bilangan tersebut. FPB berguna untuk menyederhanakan pecahan. Lihat penjelasan di bawah untuk belajar metode-metode untuk mencari FPB.
Bagaimana mencari faktor persekutuan terbesar [FPB].
Ada beberapa cara / metode untuk menemukan faktor persekutuan terbesar. Di bawah ini adalah beberapa di antaranya
1. Mencari faktor prima
2. Pembagian dengan bilangan prima
3. Algoritma Euclid

1. Mencari faktor prima

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:
Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya adalah 2, 2, dan 3.
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan 60 adalah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 2 × 3 = 12

Soal: Carilah FPB dari 6 dan 14
Jawab:
Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
6 = 2 × 3
14 = 2 × 7
Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya adalah 2.
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 6 dan 14 adalah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2.

Soal: Carilah FPB dari 28 dan 42
Jawab:
Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
28 = 2 × 2 × 7
42 = 2 × 3 × 7
Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya adalah 2 dan 7.
Faktor persekutuan terbesar [FPB] dari 6 dan 14 adalah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 7 = 14 .

2. Pembagian dengan bilangan prima

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu 2.
2  |  24   60
__________
12    30
Kedua:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu 2
2 |  12    30
_________
6     15
Ketiga:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu 3
3 |   6     15
______
2     5
Sedemikian sehingga FPB-nya adalah 2 × 2 × 3 = 12.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

Soal: Carilah FPB dari 6 dan 14
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu 2.
2  |  6   14
__________
3    7
Sehingga FPB-nya adalah 2.

Soal: Carilah FPB dari 28 dan 42
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu 2.
2  |  28  42
__________
14   21
Kedua:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya yaitu7.
7 |  14   21
_________
2    3
Sedemikian sehingga FPB-nya adalah 2 × 7 = 14.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

3. Algoritme Euclid

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:Algoritma ini mencari FPB dengan cara melakukan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPBnya sampai kita mendapatkan sisa 0 dari hasil pembagian.
Misalnya untuk contoh kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah sebagai berikut.
Pertama:
Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil.
Kita bagi 60 dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
Kedua: 
Lalu kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12). Sehingga
24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah FPBnya, yaitu 12.

Soal: Carilah FPB dari 40 dan 64
Jawab:
Pertama:
Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Kita bagi 64 dengan 40 dan hasilnya adalah 1 dengan sisa 24.
Kedua:
Lalu kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 40) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 24). Sehingga
40 dibagi 24, kita dapatkan hasilnya 1 dan sisanya 16
Ketiga:
Kemudian kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 16). Sehingga
24 dibagi 16, kita dapatkan hasilnya 1 dan sisanya8
Keempat:
Kemudian kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 16) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 8). Sehingga
16 dibagi 8, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0
Karena kita telah memperoleh sisanya 0, maka langkah kita sampai disini.
Karena 8 merupakan angka terakhir yang kita gunakan untuk dibagi maka FPB dari 40 dan 64 adalah 8.

Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK]
Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK] dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terkecil yang merupakan kelipatan dari kedua bilangan itu.

Bagaimana mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil ?
Beberapa cara / metode untuk mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK] adalah sebagai berikut.
1. Mencari faktor prima
2. Pembagian dengan bilangan prima
3. Rumus

1. Mencari faktor prima
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Pertama-tama:
Carilah dahulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks sebagai berikut.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Setelah ditentukan faktor-faktor primanya selanjutnya yaitu tentukan kelipatan persekutuan terkecil [KPK] dari kedua bilangan tersebut. KPK adalah hasil perkalian setiap faktor prima yang memiliki pangkat terbesar. Sehingga KPKnya adalah 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
Carilah dahulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks sebagai berikut.
28 = 2 × 2 × 7
42 = 2 × 3 × 7
Setelah
ditentukan faktor-faktor primanya selanjutnya yaitu tentukan kelipatan
persekutuan terkecil [KPK] dari kedua bilangan tersebut. KPK adalah
hasil perkalian setiap faktor prima yang memiliki pangkat terbesar.
Sehingga KPKnya adalah 2 × 7 = 14.

2. Pembagian dengan bilangan prima
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2. Sehingga
2  |  24   60
__________
12   30
Kedua:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 12 dan 30 adalah 2. Sehingga:
2  |  12   30
__________
6     15

Ketiga:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 6 dan 15 adalah 3. Sehingga:

3  |  6    15
__________
2     5
Karena 2 dan 5 sudah merupakan bilangan prima maka langkah kita sampai di sini. Dengan demikian KPK dari 24 dan 60 adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 28 dan 42 adalah 2. Sehingga
2  |  28   42
__________
14  21
Kedua:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 14 dan 21 adalah 7. Sehingga:
7  |  14  21
__________
2    3

Karena
2 dan 3 sudah merupakan bilangan prima maka langkah kita sampai di
sini. Dengan demikian KPK dari 24 dan 42 adalah 2 × 7 × 2 × 3 =84.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

3. Rumus
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Jika kita tahu FPB dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus berikut ini.
a × b
KPK[a,b] =  ————-
FPB[a,b]

Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60
Jawab:
24 × 60
KPK[24,60] =  ———–  = 120
12

Catatan: Cara rumus dapat kita gunakan apabila:

1. Yang ditanyakan adalah mencari KPK dan FPB-nya telah diketahui,
2. Yang ditanyakan adalah mencari FPB dan KPK-nya telah diketahui.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
                           28 × 42  
  KPK[28,42] =  ———–  = 14
84 

Pelajari juga: Kelipatan dan Faktor Bilangan – Materi Matematika Kelas 4 Semester 1

Semoga bermanfaat.