Rumus Matematika SMA – Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi rumus matematika SMA kelas 10 semester 1. Pada artikel ini diberikan rumus-rumus dari materi tentang bentuk pangkat akar dan logaritma, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, sistem persamaan linear dua variabel, program linear, barisan dan deret, pertumbuhan dan peluruhan, bunga anuitas. Semoga rumus matematika SMA berikut dapat membantu Gengs semua dalam belajar.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Bentuk pangkat bulat positif
aⁿ = a⨯a⨯a⨯…⨯a (sebanyak n kali)
Sifat pangkat bulat positif
1. aⁿ ⨯ aᵐ = aᵐ⁺ⁿ
2. (ab)ᵐ = aᵐ bᵐ
3. (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
4.aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, dengan m>n dan a#0
5. (a/b)ᵐ = aᵐ/ bᵐ, dengan b#0
Pangkat bulat negatif
a⁻ⁿ =1/(aⁿ)
Pangkat Nol
Jika a adalah anggota R dan a#0 berlaku a⁰=1
Bentuk akar
a√c +- b√c = (a+-b) √c
√c x √d = √cd
a √c x b √d = ab √cd
Pangkat pecahan
Menyederhanakan bentuk akar
Merasionalkan penyebut
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak
Bentuk persamaan nilai mutlak:
|ax+ b|=ax+b jika x≥0
|ax+b|=-ax+b jika x≤0
Pertidaksamaan nilai mutlak
Bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak:
|ax+b|<c
|ax+b|≤c
|ax+b|>c
|ax+b|≥c
Sifat-sifat nilai mutlak
|x|<a ⇔-a <x<a
|x|≤a ⇔-a ≤x≤a
|x|>a ⇔x<-a atau x>a
|x|≥a ⇔x≤-a atau x≥a
|x| = √(x²) ⇔ |x²| = x²
|f(x)| < |g(x)|⇔[f(x) + g(x)][f(x) – g(x)] < 0
|f(x)| ≤ |g(x)|⇔[f(x) + g(x)][f(x) – g(x)] ≤ 0
|f(x)| > |g(x)|⇔[f(x) + g(x)][f(x) – g(x)] > 0
|f(x)| ≥ |g(x)|⇔[f(x) + g(x)][f(x) – g(x)] ≥ 0
|f(x)| / |g(x)| < a⇔ |f(x)| < a |g(x)|
|f(x)| < |a g(x)| ⇔ |f(x) + a g(x)| |f(x) – a g(x)| < 0
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu.
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel:
a₁x + b₁y +c₁= 0
a₂x + b₂y + c₂=0
dengan:
a₁, a₂ b₁ b₂, c₁ c₂€ R dan a₁ b₁ # 0 dan a₂ b₂#0
dimana:
x y=variabel real
a₁a₂= Koefisien variabel x
b₁b₂= koefisien variabel y
c₁ c₂ = konstanta persamaan
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan:
1. Metode grafik
2. Metode substitusi
3. Metode eliminasi
4. Metode determinan matriks
Program Linear
Sistem pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan dan mengandung variabel berpangkat satu.
Bentuk umum pertidaksamaan linear:
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c
dengan:
x, y variabel
a, b dan c konstanta.
Sistem pertidaksamaan linear adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear.
Sebuah pertidaksamaan linear ax+by≥c dapat ditentukan daerah himpunan penyelesaian dengan metode grafik dan uji titik.
Berikut langkah-langkahnya:
1. Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk ax+by=c.(garis pembatas)
2. Tentukan titik potong garis ax+by=c dengan sumbu x dan y.
3. Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong tersebut. Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda ≥ atau ≤, garis dilukis tidak putus-putus, sedangkan jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda > atau <, garis dilukis putus-putus.
4. Melakukan uji titik, yaitu mengambil sembarangan titik (x, y) yang tidak terletak pada garis ax+by=c, kemudian men substitusi kaan ke pertidaksamaan ax+by ≥ c.
a. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik-titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.
b. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by = c.
c. Arsir daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir atau arsirlah daerah yang tidak memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir.
Model matematika
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan atau fungsi.
Nilai optimum fungsi objektif
Fungsi objektif adalah fungsi yang akan dicari nilai optimumnya, sedangkan fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh variabel yang terdapat dalam fungsi objektif.
Ada dua macam nilai objektif dalam program linear yaitu maksimisasi dan minimisasi.
1. Masalah maksimisasi
Maksimumkan fungsi tujuan: z= px + qu
dengan batasan:
a₁x+b₁y ≤ c₁
a₂x+b₂y ≤ c₂
…
aₙx+bₙy ≤ cₙ
x≥0, y≥0
2. Masalah minimisasi
Minimum kan fungsi tujuan: z= px+qu
dengan batasan:
a₁x+b₁y ≥ c₁
a₂x+b₂y ≥ c₂
…
aₙx+bₙy ≥ cₙ
x≥0, y≥0
Titik optimum adalah suatu titik dimana fungsi objektif bernilai optimum. Nilai optimum ditentukan dengan cara memasukkan nilai variabel (x, y) yang merupakan penyelesaian yang layak ke fungsi objektif.
Langkah-langkah menentukan nilai optimum:
1. Mengubah soal verbal ke dalam bentuk matematika.
2. Menggambar grafik.
3. Menentukan daerah penyelesaian.
4. Menentukan nilai optimum dan fungsi objektif.
Garis selidik
Garis selidik adalah garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi objektif garis.
Bentuk umum garis selidik:
px + qy dengan p>0, q>0 dan k∈R
Langkah- langkah penggunaan garis selidik untuk menentukan nilai optimum:
1. Gambar daerah penyelesain dari permasalahn yang diketahui.
2. Buat persamaan garis selidik awal px+qy = k, dengan k=pq, kemudian gambar garis tersebut dengan titik potong pada sumbu x pada titik (q, 0) dan titik potong pada sumbu y pada titi (0, q).
3. Buat garis-garis selidik lain yang sejajar dengan garis selidik awal melalui titik-titik ekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian.
4. Tentukan titik optimum dengan ketentuan:
a. Titik maksimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kanan.
b. Titik minimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kiri.
5. Tentukan nilai optimum dengan memasukkan nilai variabel x dan y pada titik optimum ke fungsi objektif.
Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama.
Bentuk umum barisan aritmetika adalah:
U₁, U₂, U₃, U₄, U₅ … Uₙ
Beda dinotasikan b, memenuhi pola berikut:
b=U₂-U₁=U₃-U₂=U₄-U₃=Uₙ-Uₙ₋₁
dimana:
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku
Uₙ adalah suku ke-n
Rumus untuk mencari suku ke-n suatu barisan aritmetika yaitu:
Uₙ = a + (n-1) b
dimana:
a=u₁ adalah suku pertama barisan aritmetika
b adalah beda barisan aritmetika
Deret aritmetika adalah barisan jumlah n suku pertama barisan aritmetika.
Pola umum deret aritmetika:
U₁+U₂+U₃+U₄+ … + Uₙ₋₁+Uₙ
Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama deret aritmetika:
Sₙ = ¹/₂ n(2a + (n-1)b) = ¹/₂ n (U₁ + Uₙ)
diman: a = U₁ adalah suku pertama deret aritmetika
b adalah beda U₂-U₁ = U₃-U₂ …
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku
Uₙ adalah suku ke-n
Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Pola umum barisan geometri:
a, ar, ar², ar³, …
Rumus untuk mengetahui rasio atau nilai perbandingan dua suku berurut:
r=Uₙ/Uₙ₋₁
dimana:
r = rasio
Uₙ = suku ke-n
Rumus untuk mengetahui suku ke-n:
Uₙ = arⁿ⁻¹
Uₙ = Sₙ – Sₙ₋₁
Deret geometri adalah barisan jumlah n suku pertama barisan geometri.
Pola umum deret geometri:
a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri:
Sₙ = (a(1-rⁿ))/(1-r) untuk r<1
Sₙ = (a(rⁿ-1))/(r-1) untuk r>1
Sₙ = na untuk r=1
dimana:
a=u₁ adalah suku pertama deret geometri
r adalah rasio (perbandingan)
Pertumbuhan dan Peluruhan
Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret aritmatika maupun geometri naik, yaitu:
U₁,U₂,U₃, … , Un
dengan:
U₁<U₂<U₃< … < Un
Rumus untuk pertumbuhan :
Aₙ= A(1+r )ⁿ
dengan:
Aₙ = Nilai pada periode ke-n
A = Nilai awal
r = Persentase pertambahan
Peluruhan merupakan kebalikan dari pertumbuhan dan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret turun, yaitu:
U₁,U₂,U₃, … , Un
dengan:
U₁>U₂>U₃> … >Un
Rumus untuk peluruhan:
A ₙ = A(1-r)ⁿ
dengan:
A ₙ = Nilai pada periode ke-n
A = Nilai awal
r = Persentase peluruhan
Bunga dan Anuitas
Berikut ini formula atau rumus bunga anuitas berdasarkan formula umum angsuran, formula penentuan besar pinjaman dan formula penentuan besarnya anuitas.
Formula umum angsuran
Berikut ini merupakan rumus yang dapat kita gunakan:
aₙ = a₁ (1+ b)ⁿ⁻¹ atau
aₙ = (A- bM)(1+b)ⁿ⁻¹
Formula penentuan besar pinjaman
Untuk menghitung besar utang, ada dua rumus yang bisa kita gunakan.
Berikut ini adalah rumus yang dapat kita gunakan.
Formula penentuan besarnya anuitas
Untuk menentukan formula besarnya anuitas, kita dapat tentukan berdasarkan formula penentuan besar pinjaman atau utang. Untuk menghitung besarnya anuitas, ada dua rumus yang dapat kita gunakan.
Berikut ini adalah rumus yang bisa digunakan.
