Untuk matriks berordo 1×1, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks A berukuran (ordo) 1×1, yaitu
A = $mathbf{(a_{11})}$
Maka det (A) = |A| = $mathbf{a_{11}}$
Untuk matriks berukuran 2×2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks $mathbf{A}_{2times 2}=begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22} end{pmatrix}$ maka det(A) = + a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
Pada matriks segi $mathbf{A}_{2times 2}$, dengan elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₁₂ dan a₂₁, dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2×2.
Untuk matriks berukuran 2×2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks A berordo 3×3 $begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \ a_{21}&a_{22} &a_{23} \ a_{31} &a_{32} &a_{33} end{pmatrix}$
Maka det(A) = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) – (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂)
Metode ini dikenal dengan metode Sarrus.
Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks berukuran 3×3. Perhitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar akan cukup rumit apabila di kerjakan dengan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan suatu matriks adalah dengan metode minor-kofaktor elemen matriks tersebut.
Caranya akan dijelaskan sebagai berikut ini.
Misalkan $mathbf{A}_{ij}$ adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks $mathbf{A}_{ntimes n}$ Didefinisika:
- Minor elemen $mathbf{a}_{ij}$, diberi notasi $mathbf{M}_{ij}$, adalah $mathbf{M}_{ij}$= det($mathbf{a}_{ij}$)
- Kofaktor elemen $mathbf{a}_{ij}$, diberi notasi $mathbf{a}_{ij}$, adalah $mathbf{a}_{ij}$ = $(-1)^{i+j}mathbf{M}_{ij}$
Misalkan matriks $A=(a_{ij})_{ntimes n}$ dan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka
- det(A) = $sum_{j=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$, untuk sembarang i (i = 1, 2, …., n)
- det(A) = $sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$, untuk sembarang j (j = 1, 2, …., n)
Beberapa Sifat Determinan
Contohnya:
$begin{pmatrix} 1 &5 &9 \ 0 &0 &0 \ 2 & 3 & 7 end{pmatrix}$
Karena ada baris [yaitu baris ke dua] yang semua elemennya nol.
$begin{pmatrix} 0 &5 &9 \ 0 &1 &2 \ 0 & 3 & 7 end{pmatrix}$
yang semua elemennya nol.
Jangan Lupa, Baca Juga
Beberapa Sifat Dari Determinan Suatu Matriks
Matriks – Metode Minor Kofaktor
2. Jika ada satu barus atau kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det(A) = 0
Contohnya:
$begin{pmatrix} 1 &3 &4 \ 2 &6 &8 \ 2 &6 & 5 end{pmatrix}$
Karena ada baris [yaitu baris kedua] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari baris lainnya [yaitu baris ke satu].
$begin{pmatrix} 2 &2 &3 \ 5 &5 &8 \ 1 &1 & 4 end{pmatrix}$
Karena ada kolom [yaitu kolom pertama] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari kolom lainnya [yaitu kolom kedua].
3.Jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian unsur-unsur diagonal utamanya
Contohnya:
$begin{pmatrix} 1 &2 &3 \ 0 &6 &8 \ 0 &0 & 5 end{pmatrix}=(1)(6)(5)=30$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 5.
$begin{pmatrix} 0 &0 &4 \ 0 &6 &7 \ 1 &9 & 4 end{pmatrix}=(1)(6)(4)=24$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 4.
Sampai disini dulu yaa Gengs
Semoga Bermanfaat
