Matriks Invers (Definisi, Sifat-Sifat, dan Metode Matriks Adjoin)

Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = \(\mathbf{A}^{-1}\).
Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa:

dengan I adalah matriks identitas.

1. Invers suatu matriks taksingular adalah tunggal
2. Jika matriks A dan B taksingular, maka:

     a. \((\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}\)
     b. \((\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\)
     c. \((\mathbf{A}^{T})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{T}\)

Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk menentukan invers suatu matriks.

Teorema [Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin]:
Jika determinan matriks \(\mathbf{A}=(a_{ij})_{nxn}\) tidak nol, dan matriks \(\mathbf{C}=(a_{ij})_{nxn}\) dengan \(a_{ij}\) kofaktor elemen \(a_{ij}\), maka invers matriks A adalah:

Matriks \(\mathbf{C}^{T}\) disebut matriks adjoin dari matriks A.

Tentukan invers matriks dari:
\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &-1 \end{pmatrix}\)

Jawab:
Apabila kita melihat matriks diatas, berdasarkan sifat determinan maka determinan dari matriks A#0.
Pertama-tama kita mencari nilai dari det(A), maka akan diperoleh det(A) = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor seperti berikut.

dengan demikian invers matriks A adalah:

Tentukan invers matriks berikut.

Jawab:
Karena matriks A#0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A, sehingga diperoleh det(A) = 4 – 6 = -2. Untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah:

dengan demikian invers matriks A adalah

Tentukan invers matriks berikut.

dengan ad–cb # 0.

Jawab:
Perhatikan: det(A) = ad – bc [tidak nol], sehingga untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin.
Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah

\(\alpha _{11}=-1^{2}\begin{vmatrix} d \end{vmatrix}=d ;\alpha _{12}=-1^{3}\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=-c ;\)
\(\alpha _{21}=-1^{3}\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}=-b;\alpha _{22}=-1^{4}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a\)

sehingga matriks kofaktor dari A adalah

Matriks adjoin dari matriks A adalah:

Dengan demikian invers matriks A adalah

\(\mathbf{A}^{-1}=(1/(ad-bc))\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}\)

Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila:

Jawab:
Untuk menentukan matriks T dari persamaan TA = B, maka kalikan [dari sebelah kanan] kedua rumus itu dengan matriks \(\mathbf{A}^{-1}\), sehingga diperoleh:

Karena \(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}\), maka:

Karena,

maka