Relasi dan Fungsi – Rangkuman Materi SMP

Relasi dan fungsi adalah salah satu materi yang akan Gengs pelajari ketika Gengs telah berada pada tingkatan SMP. Berikut ini saya akan memberikan rangkuman materi SMP tentang relasi dan fungsi.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah setiap himpunan bagian dari A x B yaitu R:AxB.

Relasi dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurut.

 

Semua unsur dari himpunan A pada suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut Domain (D). Domain disebut juga daerah asal.

Suatu relasi R dinyatakan oleh pasangan berurur:

R = {(Abdi,Menyanyi),(Lia,Melukis),(Resti,Menyanyi),(Lea,Menari)}

Domain (D) = {Abdi,Lia,Resti,Lea}

 

Semua unsur dari himpunan B pada suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut Kodomain (Kd). Kodomain disebut juga daerah kawan.

Suatu relasi P dinyatakan oleh pasanga berurut:

P = {(A,1),(B,2),(C,1),(D,3),(E,2)}

Kodomain (Kd) = {1,2,3}

 

Pada suatu relasi himpunan A ke himpunan B, unsur-unsur himpunan B yang menjasi relasi himpunan A disebut Range (R). Range disebut juga daerah hasil.

Relasi dari A ke B yang menyatakan “sifat dari”

Range (R) = {Ramah,Pandai,Nakal}

 

Fungsi disebut juga pemetaan. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memetakan setiap anggota domain (daerah asal) dengan tepat satu anggota kodomain (daerah kawan). Tepat satu yang berarti tidak boleh kurang dari satu dan tidak boleh lebih dari satu.

 

Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk:

f : x → f(x)

Nilai fungsi untuk setiap nilai x yang diberikan dihitung dengan cara mensubstitusikan nilai x.

 

g : A→B, maka y = g(x)

f : B→ C, maka z = f(y)

Fungsi komposis f dan g dapat dituliskan sebagai:

h(x) = (f ο g)(x) = f(g(x))

 

f : A→B, maka y = f(x)

g : B→ C, maka z = g(y)

Fungsi komposis f dan g dapat dituliskan sebagai:

h(x) = (g ο f)(x) = g(f(x))

 

Fungsi f : R→R dan g : R→R dimana f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x². Maka (f ο g) ( x) adalah…

Jawab:

(f ο g) ( x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 3

 

Diketahui f : R→R dan g : R→R dengan f(x) = 2x dan g(x) = 2x+4. Carilah (g ο f)(x)!

Jawab:

(g ο f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2(2x) + 4 = 4x + 4

 

INGAT!!!

Syarat dua fungsi dapat dikomposisikan.

Komposisi fungsi g ο f dapat diperoleh jika range fungsi f merupakan himpunan bagian dari domain g atau sama dengan domain g.

 

1. Tidak Komutatif

(f ο g)(x) # (g ο f)(x)

2. Bersifat Asosiatif

[(f ο g) ο h](x) = (f ο g)(h(x)) = f(g(h(x)))

[f ο (g ο h)](x) = f((g ο h)(x)) = f(g(h(x)))

Dengan demikian, [(f ο g) ο h](x) = [f ο (g ο h)](x)

3. Identitas

(I ο f)(x) = I(f(x) = f(x)

(f ο I)(x) = f(I(x) = f(x)

 

Jika fungsi f(x) dan g(x) terdefinisi dalam suatu domain, sehingga fungsi identitas I(x) berlaku, maka fungsi g(x) dapat berlaku sebagai fungsi invers dari f.

 

Untuk menentukan rumus fungsi invers f¯¹(x) jika f(x) diketahui adalah sebagai berikut:

1. Ubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y sama dengan f¯¹(y).

3. Ganti f¯¹(y) dengan x menjadi f¯¹(x).

 

Contoh:

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = (x+3)/(x+2) dengan x#-2. Tentukan invers dari f(x)!

Jawab:

f(x) = (x+3)/(x+2), x#-2

Misalkan y = f(x)

y = (x+3)/(x+2)

y(x+2) = (x+3)

yx + 2y = x + 3

yx – x = 3 – 2y

(y-1)x = 3-2y

x = (3-2y)/(y-1)

f¯¹(x) =  (3-2x)/(x-1), x#1

 

Sifat dari iners suatu fungsi yaitu:

1. (f ο g)¯¹(x) = f¯¹(x) ο g¯¹(x)

2. f(x) ο f¯¹(x) = f¯¹(x) ο f(x) = I

 

1. Fungsi Injektif

Suatu f:A→B memetakan anggota setiap A dengan tepat satu anggota B, tetapi anggota B yang menjadi peta dari A itu petanya tunggal, maka f:A→B disebut fungsi injektif (satu-satu).

 

2. Fungsi Surjektif

Suatu f:A→B memetakan anggota setiap A dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B (tidak tersisa) menjadi peta dari A, maka f:A→B disebut fungsi surjektif.

 

3. Fungsi Bijektif

Suatu f:A→B, setiap B (tidak tersisa) menjadi peta dari A dan setiap anggota B tersebut adalah peta tunggal dari A.

 

Untuk berlatih mengerjakan soal-soal tentang relasi dan fungsi, Gengs dapat membuka link berikut:

1. 17 Contoh Soal Relasi dan Fungsi Kelas 8 Lengkap dengan Jawaban

2. Contoh Soal Matematika SMP-Relasi dan Fungsi