Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

Now, coba perhatikan SPL yang diberikan berikut ini:

\(\begin{matrix} 3x_{1} – x_{2} = 1 \\ x_{1} + x_{2}=3 \end{matrix}
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\)

yang mempunyai penyelesaian \(x_{1}=1\) dan \(x_{2}=2\).

Matriks gandeng dari SPL tersebut di atas adalah:

\(\begin{pmatrix} 3 &-1| &1 \\ 1 & 1| &3 \end{pmatrix}\)

Dengan memperhatikan SPL tersebut:

Jika baris pertama dan baris kedua dari matriks gandeng tersebut dipertukarkan tempatnya maka akan diperoleh matriks gandeng berikut:

Jika matriks gandeng yang telah ditukar tersebut dikembalikan dalam bentuk SPL, yaitu:

\(\begin{matrix} 3x_{1} &- &x_{2} &= &3 \\ x_{1} &+ &x_{2} &= & 1 \end{matrix}\)

dan kemudian diselesaikan, maka akan diperoleh penyelesaian (x₁,x₂)=(1,2)yang sama dengan penyelesaian SPL sebelumnya.

Misalkan baris kedua matriks gandeng (yang belum di tukar) di atas dikalikan dengan 5 maka akan diperoleh matriks gandeng berikut:

\(\begin{pmatrix} 15 &-5 &| & 5\\ 1 &1 & | & 3 \end{pmatrix}\)

Jika SPL ini pun diselesaikan maka akan diperoleh penyelesaian (x₁,x₂)=(1,2) dimana hasil SPL tersebut sama dengan hasil SPL sebelumnya (awal).

Jika baris pertama matrik gandeng dikalikan dengan minus satu (-1) kemudian ditambahkan ke baris kedua, maka akan diperoleh matriks gandeng sebagai berikut:

\()\begin{pmatrix} 3 &-1 &| & 1\\ -2 &2 & | & 2 \end{pmatrix}\)

Jika SPL ini diselesaikan maka akan diperoleh penyelesaian yang sama, yaitu pasangan bilangan (x₁,x₂)=(1,2).

Terlihat bahwa suatu SPL mempunyai penyelesaian yang sama dengan SPL asal bila dikenai operasi-operasi:

1. Menukarkan persamaan ke-i dengan persamaan ke-j

2. Mengalihkan persamaan ke-i dengan konstanta tak k

3. Menambahkan persamaan ke-i dengan k kali persamaan ke-j

Prinsip dari metode eliminasi Gauss adalah diperolehnya SPL baru yang mempunyai penyelesaian yang sama dengan SPL sebelumnya, tetapi SPL baru tersebut lebih mudah diselesaikan.

Perhatikan contoh di bawah ini:

Tentukan penyelesaian SPL berikut ini:

\(\begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 3 \\ 3x_{1} – x_{2} – 3x_{3} = -1 \\ 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4 \end{matrix}\)

Jawaban:

Perhatikan matriks gandeng SPL tersebut:

\(\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 3 &-1 & -3 & | &-1 \\ 2 &3 &1 &| & 4 \end{pmatrix}\)

Dengan melakukan Operasi Baris Dasar akan diperoleh matrik gandeng :

\(\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 0 &-7 & -6 & | &-10 \\ 0&-1 &-1 &| & -2 \end{pmatrix}\)

Pada langkah ini, a₁₁=1 digunakan untuk mengeliminasi (membuat nol) unsur-unsur di bawahnya.

Sekarang, dapat dilakukan OBD yang menghasilkan matriks gandeng sebagai berikut:

\(\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 0 &-7 & -6 & | &-10 \\ 0&0 &-1/7 &| & -4/7 \end{pmatrix}\)

dari matriks gandeng tersebut dapat diketahui bahwa p(A) = p(A|B) yang berarti SPL tersebut konsisten. Sehingga matriks tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

\(\begin{matrix} x_{1}&+ &2x_{2} &- &x_{3} &= &3 & & &(1) \\ & &-7 x_{2} &+ &6x_{3} &= &-10 & & &(2) \\ & & & & -1/7x_{3} &= &-4/7 & & & (3) \end{matrix}\)

Dari persamaan (3) diperoleh x₃=4. Kemudian nilai x₃=4 ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh x₂=-2. Selanjutnya, kedua nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1) maka akan diperoleh x₁=3. Cara substitusi yang seperti ini dikenal sebagai substitusi mundur. Jadi, penyelesaian SPL tersebut adalah \(\mathbf{X}=(x₁, x₂, x₃)ᵀ=(3,-2,4)ᵀ\).

Prosedur pengeliminasian unsur-unsur SPL (untuk n = 4) dapat diberikan dalam bagan di bawah ini:

\(\begin{pmatrix} \mathbf{P} &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &\mathbf{P} &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \end{pmatrix}\)

\(\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &0 &\mathbf{P} &x &| &x \\ 0 &0 &x &x &| &x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &0 &x &x &| &x \\ 0 &0 &0 &x &| &x \end{pmatrix}\)

Setelah diperoleh matriks seperti ini, maka periksa kekonsistenan SPL.
Jika ya, maka lakukan substitusi mundur untuk menentukan
penyelesaiannya.

Tentukan penyelesaian dari SPL berikut ini:

\(\begin{matrix} 2x_{1} &- &x_{2} &+ &x_{3} &= &2\\ x_{1} &+ &2x_{2} &+ &x_{3} &= &1\\ 4x_{1} &+ &3x_{2} &+ &3x_{3} &= &4\\ 3x_{1} &+ &x_{2} &+ &2x_{3} &= &3 \end{matrix}\)

Jawab:

\(\begin{pmatrix} 2 &-1 &1 \\ 1 &2 &1 \\ 4 &3 &3 \\ 3 &1 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}\)

Jika dilakukan OBD terhadap matriks gandengnya maka akan diperoleh:

\(\begin{pmatrix} 1 &2 &1 &|&1 \\ 0 &-5 &-1 &| &0\\ 0 &0 &0 &| &0\\ 0 &0 &0 &|&0 \end{pmatrix}\)

Terlihat bahwa p(A) = p(A|B), sehingga SPL tersebut konsisten. Dari matriks terakhir diperoleh:

\(\begin{matrix} x_{1} &+ &2x_{2} &+ &x_{3} &= &1 & & &(1) \\ & &-5x_{2} &- &x_{3} &= &0 & & & (2) \end{matrix}\)

Sehingga terdapat 2 persamaan dan 3 variabel yang harus ditentukan nilainya. Ini berarti terdapat 1 variabel yang nilainya bebas/sembarang. Misalkan x₂=k, dengan k merupakan bilangan real sembarang. Maka dari persamaan (2) diperoleh x₃=-5k,kemudian substitusikan kedua nilai tersebut sehingga akan diperoleh bahwa \(x_{1}=1+3k\).

Jadi penyelesaian dari SPL ini adalah \(\mathbf{X}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}=(1+3k,k,-5k)^{T}\), dengan k adalah suatu konstanta. Perhatikan bahwa SPL ini mempunyai banyak penyelesaian (karena p(A) = 2 < 3).