Contoh Soal Teknik Pengintegralan

Apa itu metode substitusi dalam teknik pengintegralan ??? Berikut ini merupakan maksud dari substitusi dalam teknik pengintegralan.

Integral dalam bentuk
\(\int f(g(x))g'(x)dx\)
dapat dituliskan sebagai berikut.
\(\int f(u)du\)
dengan substitusi u = g(x) dan du = g'(x) dx. Jika F adalah anti-turunan f, maka
\(\int f(g(x))g'(x)dx\)
\(=\int f(u)du\)
\(=F(u)+C\)
\(=F(g(x))+C\)

Keberhasilan metode ini sangat tergantung dari pemisalan yang tepat dari bagian integran sebagai u sehingga rumus-rumus dasar pengintegralan dapat digunakan. Bagi integral berbatas atau integral tentu, metode substitusi dapat dalam bentuk langsung mengubah batas integralnya seperti berikut ini:
\(\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=\int_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du\)

CONTOH 1
Tentukan integral berikut ini:
$$\int x^2 \sqrt{10-x^3}dx$$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
u=10-x³, maka
du=-3x² dx
Sehingga akan menjadi
$$=\frac{1}{3}\int\sqrt{u}du$$
$$=\frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du$$
$$=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}.u^\frac{3}{2}+C$$
$$=\frac{2}{9}(10-x^3)\sqrt{10-x^3}$$
$$=-\frac{20}{9}\sqrt{10-x^3}+2x^3\sqrt{10-x^3}$$

CONTOH 2
Tentukan integral berikut ini:
$$\int_{e}^{e^2}\begin{pmatrix} \frac{1}{x \ln x} \end{pmatrix}dx$$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
x = ln x, maka du = 1/x dx
Jangan lupa juga, karena soal diatas merupakan intergral tentu maka  nilai batasannya kita ubah. Sehingga diperoleh seperti berikut ini:
x = e maka u = ln e = 1
\(x=e^2\)maka \(u=ln e^2 = 2\)
Sehingg integralnya akan menjadi seperti di bawah ini.
\(=\int_{1}^{2}\frac{du}{u}\)
\(=\ln |u|]^2_{1}\)
\(=\ln |2| -\ln |1|\)
\(=\ln |2|\)

Bentuk \(\sqrt[n]{ax+b}\) disebut ketakrasionalan linear, karena (ax + b) berbentuk linear dalam peubah x, tetapi bentuk linear itu berada di bawah tanda akar. Jika bentuk ketakrasionalan linear semacam ini menjadi integran dari suatu integral, maka substitusi akan menghilangkan tanda akarnya.

Apabila integran mengandung beberapa pangkat pecahan dari peubah x, substitusi uⁿ=x seringkali sangat efektif. Dalam hal ini n adalah kelipatan persekutuan terkecil penyebut dari pangkat.

CONTOH 3
Tentukan integral berikut ini.
$$\int x\sqrt[5]{x-7}dx$$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama seperti contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:
\(u=\sqrt[5]{x-7}\)
\(u^5=x-7\rightarrow 5u^4du=dx\)
\(x=u^5+7\)
Sehingga
\(=\int (u^5+7)(u)(5u^4)du\)
\(=\int (u^5+7)5u^5du\)
\(=\int (5u^10+35u^5)du\)
\(=\frac{5}{1}u^11+\frac{35}{6}u^6+C\)
\(=\frac{5}{1}((x-7)^1/5)^11+\frac{35}{6}((x-7)^1/5)^6+C\)
\(=\frac{5}{1}((x-7)^11/5+\frac{35}{6}(x-7)^6/5+C\)

CONTOH 4
Tentukan integral berikut.
$$\int x\sqrt[3]{(x+2)^2}dx$$
Jawab:
Misalkan:
\(u=\sqrt[3]{(x+2)^2}=(x+2)^2/3\)
\(u^2/3=x+2\rightarrow x=u^2/3-2\)
\(\frac{3}{2}u^1/2 du=dx\)
Sehingga
\(=\int (u^3/2-2)u\frac{3}{2}u^1/2du\)
\(=\int (u^3/2-2)\frac{3}{2}u^3/2du\)
\(=\int (\frac{3}{2}u^3-3u^3/2)du\)
\(=\frac{3}{2}\frac{1}{4}u^4-\frac{3}{5/2}u^5/2+C\)
\(=\frac{3}{2}\frac{1}{4}((x+2)^2/3)^4-\frac{3}{5/2}((x+2)^2/3)^5/2+C\)
\(=\frac{3}{8}(x+2)^8/3-\frac{6}{5}(x+2)^5/3+C\)

CONTOH 5
Tentukan integral berikut ini
$$\int \frac{3^2x}{3^x+2}dx$$
Jawab:
$$=\int3^x \begin{pmatrix} \frac{3^x}{3^x+2} \end{pmatrix}dx$$

Untuk menjawab soal ini, sama seperti contoh sebelumnya yaitu kita tentukan dahulu u-nya.
Misalkan:
\(u=3^x+2\), maka
\(du=3^x\ln 3 dx\)
Sehingga
\(=\int \frac{u-2}{u}\frac{1}{\ln 3}du\)
\(=\frac{1}{ \ln3}\int \frac{u-2}{u}du\)
\(=\frac{1}{ \ln3}\begin{bmatrix} \int du-2\int \frac{du}{u} \end{bmatrix}\)
\(=\frac{u}{\ln3}-\frac{2\ln u}{\ln3}+C\)
\(=\frac{3^x+2}{\ln3}-\frac{2\ln 3^x+2}{\ln3}+C\)

Yang perlu kita ketahui, substitusi trigonometri akan berlaku apabila integran mengandung ekspansi-ekspansi seperti berikut ini:
1. \(\sqrt{a^2-u^2}\)
2. \(\sqrt{a^2+u^2}\), atau
3. \(\sqrt{u^2+a^2}\)
dengan a merupakan konstanta bilangan nyata dan u merupakan variabel.
Sehingga lakukan pemisalan sebagai berikut ini.
Untuk ekspansi nomor 1
Misalkan, \(u=a \sin \theta\)
Untuk ekspansi nomor 2
Misalkan, \(u=a \tan \theta\), dan
Untuk ekspansi nomor 3
Misalkan, \(u=a \sec \theta\)

CONTOH 6
Tentukan integral berikut ini:
$$\int \frac{2e^x}{\sqrt{1-e^2x}}$$
Jawab:
Untuk mengerjakan soal seperti ini kita mengacu lagi pada catatan di atas. Pertama-tama kita tentukan dahulu nilai a dan u-nya.
Dari soal di atas dapat kita peroleh bahwa:
a=1,u=\(e^x\)
Maka, nilai u-nya yaitu:
\(u=1\sin \theta\)
\(e^x=\sin \theta \rightarrow e^xdx=\cos \theta d\theta\)
Sehingga,
\(=2\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^2x}}dx\)
\(=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{1-\sin^2 \theta }}\)
\(=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{\cos^2 \theta }}\)
\(=2\int d\theta\)
\(=2\theta\)
\(=2\arcsin e^x\)

CONTOH 7
Tentukan integral berikut ini:
$$\int \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$$
Jawab:
Sebelum mengerjakan lebih lajut, pertama-tama tentukan dahulu:
a=1,u=2x, maka
\(u=1\tan \theta\)
\(2x=1\tan\theta\)
\(2dx=\sec^2\theta d\theta\)
Sehingga
\(=\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{2\sqrt{1+4.\frac{1}{4}.\tan^2 \theta .2}}\)
\(=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\)
\(=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{\sec^2 \theta}}\)
\(=\frac{1}{4}\int \tan \theta \sec \theta d\theta\)
\(=\frac{1}{4} \sec \theta +C\)
\(=\frac{1}{4} \sqrt{1+4x^2}+C\)

Sampai disini dulu ya Gengs. Semoga bermanfaat.

Terima kasih.