Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial [SMA Kelas 12]

Gengs tahu tidak apa itu Integral parsial?
Naahhh… integral parsial merupakan suatu metode yang sering digunakan untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi, yang bersandarkan pada formula hasil kali dua fungsi.
Berikut ini merupakan rumusnya:

d(u.v)=u dv + v du

Dengan mengintegralkan kedua ruas tersebut, akan diperoleh sebagai berikut:

Bentuk integral parsial di atas dapat dicirikan dalam dua bagian yaitu:
1. Bagian yang diturunkan
2. Bagian yang diintegralkan
Dalam keadaan ini, integral parsial sering dikenal sebagai integral sebagian.

Dari pembahasan di atas, kita telah mengetahui apa itu integral parsial.
Selanjutnya kita akan membahas tentang integral parsial terhadap fungsi aljabar.
Untuk menyelesaikan integral parsial terhadap fungsi aljabar dapat dilakukan
berdasarkan formula, tabulasi, ataupun dengan konsep dasar turunan, dan
integral.

Agar dapat lebih mengerti, coba perhatikan contoh berikut ini:

CONTOH 1
Soal: Selesaikan integral parsial berikut ini dengan cara formulasi \(\int
x\sqrt{4x-1}dx\)
Jawab:
Pada cara formula, rumus berikut yang akan kita gunakan
1. \(\int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+c\)
2. \(\int udv=uv-\int vdu\)\(\int x\sqrt{4x-1}dx=\int x(4x-1)^{1/2} dx\)
Misalkan:
\(u=x\Rightarrow du=dx\)
\(dv=(4x-1)^{1/2}dx\Rightarrow v=\int (4x-1)^{1/2}dx\)

Setelah kita mendapatkan nilai v-nya, selanjutnya kita substitusikan ke rumus
no. 2 di atas sebagai berikut:
\(\int udv=uv-\int vdu\)

\(\int x\sqrt{4x-1}dx\)

Sehingga kita akan peroleh sebagai berikut:

CONTOH 2
Soal: Selesaikan \(\int x\sqrt{4x-1}dx\) dengan cara manipulasi aljabar dan
substitusi.
Jawab:
\(\int x\sqrt{4x-1}dx=\int \frac{1}{4}(4x-1)\sqrt{4x-1}dx+\frac{1}{4}\int
\sqrt{4x-1}dx\)
\(=\frac{1}{4}\int (4x-1)\sqrt{4x-1}dx+\frac{1}{4}\int \sqrt{4x-1}dx\) ……*
Bentuk yang diberi tanda bintang merupakan bentuk integral substitusi dan
diselesaikan dengan cara substitusi seperti berikut ini:
\(\int x\sqrt{4x-1}dx\)

Jadi hasil yang kita akan peroleh adalah:

C. Integral Parsial terhadap Fungsi trigonometri

Gengs.. pada integral parsial terhadap fungsi trigonometri ini, akan diberikan beberapa contoh diantaranya:
Contoh 1
Kasus: Integral parsial yang melibatkan fungsi trigonometri
Soal: Selesaikan integral \(\int x\sin xdx\) dengan cara formula
Jawab:
Misalkan:
\(u=x\Rightarrow du=dx\)
\(dv=\sin xdx\Rightarrow v=\int \sin x dx=-\cos x\)

Berdasarkan:
\(\int udv=uv-\int vdu\)
maka akan diperoleh:
\(\int x \sin x dx=-x \cos x -\int – \cos x dx\)
\(=-x \cos x+\int \cos x dx\)
Sehingga hasil akhir yang akan kita peroleh adalah
\(\int x \sin x dx=-x \cos x+\sin x +C\)

Contoh 2
Soal: Selesaikan dengan integral parsial:
\(\int \arctan xdx\)
Jawab:
\(\int \arctan xdx\)
\(u=\arctan x\Rightarrow du=\frac{dx}{1+x^{2}}\)
\(dv=dx\Rightarrow v=\int dx=x\)
Maka akan diperoleh:
\(\int \arctan xdx=x\arctan x-\int \frac{xdx}{1+x^{2}}\)
\(=x\arctan x-\int \frac{xd(1+x^{2})}{(1+x^{2}).2x}\)
\(=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left | 1+x^{2} \right |+C\)
\(=x\arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}+C\)

CATATAN
Apabila \(y=\arctan x=\tan^{-1} x\) dan
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{1+x^{2}}\)
maka \(dy=\frac{dx}{1+x^{2}}\)

Bagi Gengs yang masih mau berlatih soal tentang integral parsial yang melibatkan fungsi trigonometri, Geng bisa membuka link berikut ini:
Rangkuman dan Contoh Soal – Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri
Rangkuman dan Contoh Soal – Teknik Pengintegralan: Substitusi yang Merasionalkan dan Substitusi Trigonometri

CONTOH 3.
Kasus: Bentuk integral parsial dua kali
Soal: Selesaikan integral berikut dengan cara formula
\(\int x^{2} \sin x dx\)
Jawab:
Misalkan:
\(u=x^{2}\Rightarrow du=2xdx\)
\(dv=\sin x dx\Rightarrow v=\int \sin x dx=-\cos x\)
maka akan diperoleh:
\(\int x^{2} \sin x dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x dx\)
Dari hasil yang telah kita peroleh di atas, dapat dilihat bahwa \(\int 2x\cos
x dx\) tidak dapat langsung diintegralkan namun kita harus mengintegral parsial
sekali lagi.
Misalkan:
\(u=2x\Rightarrow du=2 dx\)
\(dv=\cos x dx\Rightarrow v=\int \cos x dx=\sin x\)
maka akan diperoleh:
\(\int 2x\cos x dx=2x \sin x-2\int \sin x dx\)
\(=2x \sin x+2 \cos x +C\)
Sehingga hasil akhir yang diperoleh adalah:
\(\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C \)

CONTOH 4. Integral parsial yang melibatkan fungsi logaritma
Soal: Dengan menggunakan metode formula, carilah integral berikut ini
\(\int x\ln xdx\)
Jawab:
Misalkan:
\(u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx\)
\(dv=xdx\Rightarrow v=\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}\)
maka akan diperoleh:
\(\int x \ln x dx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x^2 .\frac{1}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx\)
\(=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4} x^2 +C\)
Sehingga hasil akhir yang diperoleh adalah:
\(\int x \ln x dx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4} x^2 +C\)

CATATAN
Apabila \(\ln x=\log_{x}^{e}\) dan
\(y=\ln x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)
maka \(dy=\frac{1}{x}dx\)

Demikian “Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial“. Semoga Bermanfaat