Contoh Soal dan Pembahasan Aljabar Kelas 7 Lengkap

Hallo Gengs… Apa kabar? Semoga kita selalu dalam lindunganNya. Pada kesempatan kali ini kita ada belajar tentang materi SMP yaitu bentuk aljabar kelas 7. Gengs tahu nggak, biasanya konsep tentang aljabar itu di gunakan untuk apa?

Naahhh Konsep aljabar ini banyak digunakan dalam memecahkam berbagai permasalahan manusia. Misalnya, seseorang pedagang dapat menghitung untung dan rugi dari perniagaannya. Dalam hal ini akan melibatkan bentuk aljabar.

Gengs mungkin sering juga menggunakan [menerapkan] konsep aljabar secara tidak langsung. Misalnya, saat Gengs membeli beberapa barang dengan jumlah uang tertentu. Tentu saja permasalahan tersebut dapat diterjemahkan ke dalam bentuk aljabar. Sebelum kita melangkah lebih jauh tentang konsep aljabar ini, coba Gengs ingat-ingat kembali materi tentang operasi hitung bilangan bulat dan pecahan.

Naaahhh… Gengs harus menguasai materi tersebut, agar pada materi konsep aljabar ini Gengs tidak kesulitan untuk memahaminya. Bagi Gengs yang sudah lupa materi tentang operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, Gengs dapat mempelajarinya pada link berikut ini: Operasi Hitung Bilangan Bulat Operasi Hitung Bilangan Bulat

Bentuk Aljabar

Pengertian Bentuk Aljabar

Bentuk Aljabar merupakan bentuk operasi atau pengerjaan hitung yang terdiri dari satu atau beberapa suku yang melibatkan peubah atau variabel.
Unsur-unsur bentuk aljabar :
Variabel : lambang pada bentuk aljabar yang dinyatakan dengan huruf kecil
Koefisien : lambang [bilangan] yang memuat suatu variabel
Konstanta : bilangan yang tidak memuat suatu variabel
Faktor : bagian dari suatu hasil kali
Suku : bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi hitung, yaitu :

1. Suku Sejenis adalah suku-suku dalam bentuk aljabar yang mempunyai
   variabel yang sama, sehingga dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
2. Suku Tak Sejenis adalah suku-suku dalam bentuk aljabar yang mempunyai variabel yang berbeda.

Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Penyederhanaan penjumlahan maupun pengurangan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan mengelompokkan suku-suku yang sejenis.

Soal: Selesaikan bentuk aljabar berikut ini:
1. 4a + 2a
2. 5m + 3m
3. 8x – 2x
4. 6p – 3m

Jawab:
1. 4a + 2a = [4 + 2] a = 6a
2. 5m + 3m = [5 + 3] m = 8m
3. 8x – 2x = [8 – 2] x = 6x
4. 6p – 3m = [6 – 3] m = 3m

Ternyata untuk suku-suku sejenis dapat dilakukan penjumlahan dan pengurangan.
Pertanyaannya sekarang?? Pada suku tak sejenis, apakah dapat dilakukan penjumlahan dan pengurangan.

Perhatikan contoh berikut ini
4x + 2y = …
Hukum distributif tidak berlaku pada contoh di atas. Sehingga, jelas bahwa untuk suku-suku yang tak sejenis tidak dapat dilakukan penjumlahan dan pengurangan.
3p – 2p = [3 -2]p = 1p = p

-5r + 3r = [-5 + 3]r = -2r

5r – 2r + 4r = [5 – 2 + 4]r = 7r

-7r + 4p + 5r + 2p = [-7 + 5] r + [4 + 2]p
= -2r + 6p

Soal: Selesaikan bentuk aljabar berikut ini [3x – 2y] – [x – 3y] !
Jawab:
[3x – 2y] – [x – 3y] = 3x – 2y – x – 3y
= [3 – 1] x + [-2 – 3]y
= 3x – x – 2y – 3y
= 2x + [-5]y
= 2x – 5y

Dari contoh 2 dapat kita simpulkan bahwa ternyata menjumlahkan ataupun mengurangkan suku-suku sejenis secara cepat dapat dilakukan dengan menjumlahkan/mengurangkan koefisiennya.

Soal: Selesaikan bentuk aljabar berikut: [7x + 5y – 3] + [7x + 12y – 1]
Jawab:
[7x + 5y – 3]+ [7x + 12y – 1]  = 7x + 5y – 3 + 7x + 12y – 1
= 7x + 7x + 5y +12y – 3 – 1
= 14x + 17y – 4

Soal: Bentuk paling sederhana dari 5x + 3y – 2 – x + y + 2
Jawab:
5x + 3y – 2 – x + y + 2 = 5x + 3y – 2 – x + y + 2
= 5x – x + 3y + y – 2 + 2
= 4x + 4y

Soal: Bentuk paling sederhana dari 6a – 3b + a + 4b !
Jawab:
6a – 3b + a + 4b = 6a – 3b + a + 4b
= 6a + a – 3b + 4b
= 7a + b

Soal: Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p
e. 6m + 3[m² – n²] – 2m² + 3n²
Jawab:
a. 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
= 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
= –y – 3
d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p = 2p + 3p – 3p² + 2q – 5q²
= 5p – 3p² + 2q – 5q²
= –3p² + 5p – 5q² + 2q
e. 6m + 3[m² – n²] – 2m² + 3n² = 6m + 3m² – 3n² – 2m² + 3n²
= 6m + 3m² – 2m² – 3n² + 3n²
= m² + 6m

Soal: Tentukan hasil dari 10x² + 6xy – 12 dan –4x² – 2xy + 10
Jawab:
10x² + 6xy – 12 + [–4x² – 2xy + 10] = 10x² – 4x² + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x² + 4xy – 2

Soal: Tentukan hasil dari
[4p² – 10p – 5] – [8p² + 10p + 15]
Jawab:
[4p² – 10p – 5] – [8p² + 10p + 15]  = 4p² – 8p² – 10p –10p – 5 – 15
= –4p² – 20p – 20

Soal: Tentukanlah jumlah dari A = 2p + 3q – 4 dan B = p – 3q + 2
Jawab:
A + B = [2p + 3q – 4]+ [p – 3q + 2]
= 2p + p + 3q – 3q – 4+ 2
= 3p – 2

Soal: Jumlah dari A = 6xy + 3yz + 4z dan B = 3yz + 4yx – 4z
Jawab:
A + B  = 6xy + 3yz + 4z + [3yz + 4yx – 4z]
= 6xy + 4xy + 3yz + 3yz + 4z– 4z
= 10xy + 6yz

Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar
Contoh-contohnya sebagai berikut:
3y x 5y = 15y²

3b x [-2b] = -6b²

2a x 4b = 8ab

-3 [2y – 4] = -3 [2y] – 3[-4]
= -6y + 12

5 [2x + 4] = 5[2x]+ 5[4]
= 10x + 20

3ab x [-2c] = -6abc

[x + 1] [x + 2] = x [x + 2] + 1[x + 2]
= x[x] + x[2] + x[3] +1[2]
= x² + 2x + 3x +2
= x² + 5x + 2

[2p – 3] [p + 2] = 2p [p + 2] – 3[p + 2]
= 2p² + 2p[2] – 3[p] – 3[2]
= 2p² + 4p – 3p- 6
= 2p² + p – 6

Soal: Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut: 2[x + 3]
Jawab:
2[x + 3] = 2x + 6

Soal: Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut: 3x[y + 5]
Jawab:
3x[y + 5] = 3xy + 15x

Soal: Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut: –5[9 – y]
Jawab:
–5[9 – y] = –45 + 5y

Soal: Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut: –9p[5p – 2q]
Jawab:
–9p[5p – 2q] = –45p² + 18pq

Soal: Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan menjadi bentuk yang paling sederhana!
a. [x + 5][x + 3]
b. [2x + 4][3x + 1]
c. [x – 4][x + 1]
d. [–3x + 2][x – 5]
Jawab:
a. [x + 5][x + 3] = [x + 5]x + [x + 5]3
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
b. [2x + 4][3x + 1] = [2x + 4]3x + [2x + 4]1
= 6x² + 12x + 2x + 4
= 6x² + 14x + 4
c. [x – 4][x + 1] = [x – 4]x + [x – 4]1
= x² – 4x + x – 4
= x² – 3x – 4
d. [–3x + 2][x – 5] = [–3x + 2]x + [–3x + 2][–5]
= –3x² + 2x + 15x – 10
= –3x² + 17x – 10

Soal: Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang [5x + 3] cm dan lebar [6x– 2] cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
Jawab:
Diketahui : p = [5x + 3] cm dan l = [6x – 2] cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= [5x + 3][6x – 2]
= [5x + 3]6x + [5x + 3][–2]
= 30x² + 18x – 10x – 6
= 30x² + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah [30x² + 8x – 6]

Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar [a + b] dan [c + d] dapat ditulis sebagai berikut.
[a + b][c + d] = [a + b]c + [a + b]d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh-contoh soal berikut.

Soal: Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. [x + 1][x + 2]
b. [x + 8][2x + 4]
c. [x – 2][x + 5]
d. [3x + 4][x – 8]
Jawab:
a. [x + 1][x + 2] = x² + 2x + x + 2
= x² + 3x + 2
b. [x + 8][2x + 4]= 2x² + 4x + 16x + 32
= 2x² + 20x + 32
c. [x – 2][x + 5] = x² + 5x –2x –10
= x² + 3x – 10
d. [3x + 4][x –8]= 3x² – 24x + 4x – 32
= 3x² – 20x – 32

Soal: Bentuk paling sederhana dari 4[2x – 5y] – 5[x + 3y]
Jawab:
4[2x – 5y] – 5[x + 3y] = 4[2x – 5y] – 5[x + 3y]
= 8x – 20y – 5x – 15y
= 3x – 35y

Soal: Jika P = 4x² + 3x dan Q = 5x – x² , maka tentukan nilai dari P – 2Q!
Jawab:
P – 2Q = 4x² + 3x – 2[5x – x²]
= 4x² + 3x – 10x + 2x²
= 4x² + 2x² + 3x – 10x
= 6x² – 7x

Soal: Bentuk sederhana dari 4[p – 3q] – 3[5q + 4p] adalah ?
Jawab:
4[p – 3q] – 3[5q + 4p] = 4p – 12q – 15q – 12p
= 4p – 12p –12q – 15q
= – 8p – 27q

Perpangkatan Bentuk Aljabar

Berikut ini adalah contoh-contoh untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.
a^5 = a × a × a × a × a

(2a)³ = 2a × 2a × 2a
= [2 × 2 × 2]× [a × a × a]
= 8a³

[–3p]4 = [–3p] × [–3p] × [–3p] × [–3p]

= [[–3] × [–3]× [–3] × [3]] × [p × p × p × p] = 81p⁴

[4 × 2y]² = [4 × 2y] × [4 × 2y]
= [4 × 4] × [x² × x²] × [y × y]
= 16x⁴y²

[a + b]² = [a + b] [a + b]
= [a + b]a + [a + b]b
= a² + ab + ab + b2
= a² + 2ab + b2

[a – b]² = [a – b] [a – b]
= [a – b]a + [a – b][–b]
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

[a + b]³ = [a + b] [a + b]²
 = [a + b] [a² + 2ab + b²] [a+b]² = a² + 2ab + b²
= a[a² + 2ab + b²] + b [a² + 2ab + b²]
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 2a²b + a²b + ab² +2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Untuk menguraikan bentuk aljabar [a + b]2, [a + b]3, dan [a + b]4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar [a + b]5, [a + b]6, [a + b]7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal. Perpangkatan bentuk aljabar [a – b]n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari [+] ke [–], begitu seterusnya.

Pecahan Bentuk Aljabar

Berikut ini adalah contoh-contoh bentuk pecahan.

\(\frac{2x}{5}\)

\(\frac{3+x}{5}\)

\(\frac{2x}{5y}\)

\(\frac{2x+6}{5x}\)

\(\frac{2x}{x+8}\)

Berikut ini adalah contoh-contoh dari KPK dan FPB bentuk aljabar.
Untuk contoh-contoh dari KPK dan FPB.. Gengs dapat membuka link berikut ini di sini

Berikut ini adalah contoh-contoh dari operasi hitung pecahan bentuk aljabar suku tunggal.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}=\frac{2}{2a}+\frac{1}{2a}\)
\(=\frac{2+1}{2a}\)
\(=\frac{3}{2a}\)

\(\frac{5}{a}+\frac{3}{ab}=\frac{5b}{ab}+\frac{3}{ab}\)
\(=\frac{5b+3}{ab}\)

\(\frac{3q}{q^{2}}+\frac{4}{q}=\frac{3q}{q^{^{2}}}+\frac{4q}{q^{^2}}\)
\(=\frac{3q+4q}{q^{2}}\)
\(=\frac{7q}{q^{2}}\)
\(=\frac{7}{q}\)

\(\frac{2}{b}\times \frac{3}{b}=\frac{2\times 3}{b\times b}=\frac{6}{b^{2}}\)

\(\frac{2}{b}: \frac{3}{b}=\frac{2}{b}\times \frac{b}{3}=\frac{2\times b}{b\times 3}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3}\)

\(\begin{pmatrix}\frac{2p}{3}\end{pmatrix}^{2}=\frac{2p}{3}\times \frac{2p}{3}=\frac{4p^{2}}{9}\)

\(\frac{b}{3a}:c=\frac{b}{3a}\times \frac{1}{c}=\frac{b\times 1}{3a\times c}=\frac{b}{3ac}\)

\(\begin{pmatrix}-\frac{3}{2q}\end{pmatrix}^{3}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2q}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-\frac{3}{2q}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-\frac{3}{2q}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{9}{4q^{2}}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-\frac{3}{2q}
\end{pmatrix}=\frac{27}{8q^{3}}\)

Penerapan Bentuk Aljabar

Berikut ini merupakan contoh-contohnya:

Soal: Pada tahun ini umur seorang adik 5 tahun kurangnya dari umur kakak. Lima tahun kemudian jumlah umur kakak dan adik menjadi 35 tahun. Tentukanlah masing-masing umurnya.
Jawab:
Misalkan : Umur kakak = x tahun
Umur adik = [x – 5] tahun
5 tahun kemudian umur kakak = x + 5 tahun
umur adik = [x – 5] + 5 = x tahun
Jumlah umur mereka 5 tahun lagi adalah 35 tahun,
maka kalimat matematikanya adalah:
x + 5 + x = 35,
Dengan demikian dapat diselesaikan sebagai berikut:
2x + 5 = 35
2x = 30
x = 30/2
x = 15
Sehingga,
umur kakak sekarang adalah 15 tahun dan adik adalah 15 – 5 = 10 tahun.

Soal: Harga 3 buah buku dan 5 pensil adalah Rp 42.000. Jika harga sebuah buku adalah 3 kali harga sebuah pensil, tentukanlah harga masing-masing pensil dan buku.
Jawab:
Misalkan : harga sebuah pensil = x rupiah maka harga 5 pensil = 5x rupiah
harga sebuah buku adalah 3 kali harga sebuah pensil,
maka harga sebuah buku = 3x rupiah.
Jadi, harga 5 buah pensil = 5x rupiah dan harga 3 buah buku = 9x rupiah.
Jadi, harga 3 buku dan 5 pensil adalah Rp 42.000
Kalimat matematikanya.
5x + 9x = 42.000
14x = 42.000
x = 42.000/14
x = 3.000
Jadi, harga sebuah pensil adalah Rp 3.000 dan harga sebuah buku adalah 3 × Rp 3.000 = Rp 9.000.

Soal: Jumlah dua bilangan berturut-turut adalah 603. Bilangan manakah itu?
Jawab:
Misalkan bilangan itu adalah a dan a+1
Maka diperoleh:
a + [a + 1] = 603
2a = 602
a = 301
Dengan demikian, bilangan itu adalah 301 dan 302

Soal: Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang memiliki lebar 7 kurangnya dari panjangnya dan keliling 86 m. Tentukanlah ukuran panjang dan lebarnya.
Jawab:
Misalkan : panjang = x meter
lebarnya [x – 7] meter

Keliling = 2p + 2l
Keliling = 2[x] + 2[x– 7]
k = 2x+ 2x– 14
86 = 4x– 14
86 = 4x– 14
86 + 14 = 4x
4x = 100
x = 100/4
x = 25
Jadi Ukuran kolam, panjang 25 m dan lebar [25 – 7] = 18 m.

Soal: Jika dua bilangan selisihnya adalah 48, dan angka yang satu adalah lima kali dari angka yang lain, bilangan berapakah itu?
Jawab:
Misal x = bilangan yang lebih kecil;
maka  5x = bilangan yang lebih besar,
5x – x = 48,
4x = 48;
dengan demikian  x = 12,
5x = 60.
Sehingga, bilangan tersebut adalah 12 dan 60.

Soal: Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka adalah 26 tahun. Tentukanlah umur mereka.
Jawab:
Misalkan : umur anak = x tahun, maka umur ibunya 3x tahun.
Selisih umur mereka 26 tahun,
Pernyataan diatas dapat kita transformasikan dalam bentuk kalimat matematika seperti berikut.
3x – x = 26
2x = 26
x = 26/2
x = 13
Jadi, umur anaknya 13 tahun dan ibunya [3 × 13] tahun = 39 tahun

Soal: Jumlah 3 bilangan ganjil positif yang berurutan adalah 21. Tentukanlah ketiga bilangan tersebut.
Jawab:
Misalkan : bilangan I = n,
bilangan II = n + 2,
bilangan III = n + 4,
dari permisalan yang telah kita buat, selanjutnya kita dapat menyusun sebuah aljabar sebagai berikut ini.
n + [n + 2] + [n + 4] = 21
n + n + 2 + n + 4 = 21
3n + 6 = 21
3n = 21 – 6
3n = 15
n = 15/3
n = 5
Dengan demikian, ketiga bilangan tersebut adalah 5, [5 + 2], [5 + 4] atau 5, 7, dan 9.

Demikian contoh-contoh soalnya…
Semoga Bermanfaat