Setelah kita mempelajari Turunan Fungsi, Kaitan Turunan dan Kekontinuan. Sekarang kita akan mempelajari Aturan Rantai, Turunan Implisit, Turunan Tingkat Tinggi dan Laju Terkait. Tanpa basa-basi lagi berikut ulasan singkatnya.
Aturan Rantai
Misalkan ingin ditentukan \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) bagi y=(x²-3x)².
Teknik penyelesaian
1. Kuadratkan, karena bentuknya masih sederhana:
(x²-3x)(x²-3x)= x⁴-6x³+9x²
sehingga, y= x⁴-6x³+9x²
y= 4x³-18x²+18x
2. Pemisahan variabel baru:
misalkan: y= u², u=x²-3x
sehingga,
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}=2u , \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=2x-3\)
maka,
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\)
\(=2u(2x-3)\)
\(=2(x^{2}-3x)(2x-3)\)
\(=(2x^{2}-6x)(2x-3)\)
dengan demikian akan diperoleh:
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=4x³-18x²+18x\)
hasil akhir yang diperoleh sama dengan cara 1
Catatan:
Apabila persamaannya sederhana, kita dapat menggunakan teknik 1. Namun apabila persamaannya seperti (x²+3x)²⁰¹⁶ maka akan rumit dalam mencari \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) namun akan efisien jika menggunakan ke 2. Teknik ke 2 disebut juga dengan aturan rantai.
Teorema (Aturan rantai)
Misalkan f(u) terturunkan di u=g(x) dan g(x) terturunkan di x, maka fungsi komposit (f o g) (x) terturunkan di x dan (f o g)’ (x) = f ‘ (g(x))g'(x)
Dengan notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\)
Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisi dua fungsi)
Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisinya lebih dari dua fungsi)
Turunan Implisit
Fungsi Eksplisit : y=f(x))
contohnya, y= 2x-1 , \(y=\sqrt{1-x^{2}}\)
Fungsi Implisit: F(x,y)=c. Dengan c (konstanta) dan dengan asumsi y fungsi terhadap x
Contohnya:
y-2x-1=0
x²+y²=1
sin(xy)+2x²=3
Langkah-langkah menurunkan fungsi implisit:
1. Turunkan kedua ruasnya terhadap x
2. Gunakan aturan rantai
3. Kemudian tentukan \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)
Turunan Fungsi Pangkat Rasional
Teorema
Misalkan p, q adalah bilangan bulat,
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{p/q}=\frac{p}{q}x^{p/q-1}, q\neq 0\)
Turunan Tingkat Tinggi
Aplikasi Turunan Kedua dalam Penentuan Percepatan
Jika s = f(t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka:
- \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=f'(t)\) menyatakan kecepatan objek pada waktu t
- \(a(t)=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} ^{2}s}{\mathrm{d} t^{2}}=f”(t)\) menyatakan percepatan objek pada waktu t
Laju Terkait
Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.
Makna dari tanda laju:
Misalkan:
\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}> 0\)
apabila t membesar maka x membesar
apabila t mengecil maka x mengecil
\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}< 0\)
apabila t membesar maka x mengecil
apabila t mengecil maka x membesar
\(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=0\)
maka x-nya konstan
Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait
- Pahami permasalahan.
- Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang merupakan fungsi terhadap waktu
- Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
- Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
- Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.
- Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.
