Turunan Fungsi, Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f'(a), adalah

asalkan limit tersebut ada

Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau -∞), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.

Perhatikan gambar (a) berikut:
Ilustrasi geometris definisi turunan pada titik.

Alternatif Formula Turunan
Jika pada definisi diambil x = a + h, maka diperoleh alternatif formula sebagai berikut:

dapat di lihat pada gambar di atas bagian (b)

Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
1. Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f ‘(a), yakni turunan f di x = a.
2. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah y – f(a) = f ‘(a) (x – a)

Ilustrasi geometris persamaan garis singgung

Turunan Sebagai Fungsi

• 1. Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan
• 
   

  dan

  

  sehingga akan diperoleh fungsi f ‘ dengan

  
• 2. f ‘ pada turunan di atas merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f .

• 3. Daerah asal f’, Df ‘ = {x : f ‘ (x) ada}

• 4. Nilai f ‘(a) juga dapat dihitung dari turunan di atas kemudian mengevaluasi f ‘(x)
  untuk x = a.

Tafsiran Lain Turunan

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x).
Beberapa notasi yang menyatakan turunan f

Catatan: notasi dy/dx, df/dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.

Aplikasi Turunan [Fisika: Kecepatan sesaat]

• Nilai f ‘(a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap x di x = a.

• Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,

1)   Kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

2)   Laju objek pada saat t = a adalah |f ‘(a) |, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.

Aplikasi Turunan [ Ekonomi, Demografi]

• Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton),

bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f ‘(x) dikenal sebagai biaya marjinal.

• Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun),

bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun)

Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Tidak fungsi tidak mempunya turunan apabila, seperti gambar di bawah ini.

Rumus-Rumus Turunan

Rumus Turunan

Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de.nisi turunan.

Teorema turunan fungsi
Misalkan u = f(x), v = g(x), dan c merupakan suatu konstanta. Maka:

Teorema turunan fungsi pangkat

Jika n sembarang bilangan real, maka

Turunan Fungsi Sesepenggal

Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisi turunan.

Teorema [Turunan fungsi sesepenggal]

Andaikan f kontinu di a serta \(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)\) dan \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\) ada. Fungsi f terturunkan di a jika dan hanya jika \(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)\) = \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\) dan \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)\)

Turunan Fungsi Trigonometri

Limit penting

\(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta }{\theta }=1\)
\(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1-\cos \theta }{\theta }=0\)

Turunan Sinus Cosinus

\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x = \cos x\)
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos x = -\sin x\)

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan dari trigonometri sebagai berikut:

Baca juga lanjutan tentang Limit dan Kekontinuan (Kalkulus).