1.Barisan Bilangan dan Polanya
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku barisan. Suku pertama dilambangkan dengan U₁, suku kedua dengan U₂ dan seterusnya. Beberapa contoh barisan bilangan sebagai berikut:
a. Barisan bilangan asli
Barisan bilangan asli yaitu 1,2,3,4,5,…. Bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan 1 pada bilangan sebelumnya.
b. Barisan bilangan ganjil
Barisan bilangan ganjil yaitu 1,3,5,7,9,…. Bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya.
c. Barisan bilangan genap
Barisan bilangan genap yaitu 2,4,6,8,…. Bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya.
d. Barisan bilangan persegi
Barisan bilangan persegi yaitu 1,4,9,16,…. Barisan bilangan persegi disebut juga barisan bilangan kuadrat karena untuk mendapatkannya berasal dari kuadrat bilangan asli.
e. Barisan bilangan segitiga
Barisan segitiga yaitu 1,3,6,10,….
f. Barisan bilangan persegi panjang
Salah satu barisan bilangan persegi panjang yaitu 2,6,12,20,….
g. Barisan bilangan Fibonacci
Salah satu barisan bilangan Fibonacci yaitu 1,1,2,3,5,…. Bilangan selanjutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan sebelumnya.
2. Barisan dan Deret Aritmetika
a. Barisan aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan setiap suku-suku yang berurutan mempunyai selisi tetap. Selisi yang tetap disebut beda .
Bentuk umum barisan aritmetika: a, a+b, a+2b, a+3b,….
Suku pertama = a = U₁
Beda = b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = Un – Un₋₁
Secara umum suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan : Un = a + (n – 1)b
b. Deret aritmetika
Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku barisan aritmetika. Secara umum jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan:
Sn = n/2 (2a + (n – 1)b), atau
Sn = n/2 (a + Un)
3. Barisan dan Deret Geometri
a. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan yang tetap. Bilangan yang tetap disebut rasio. Bentuk barisan geometri : a, ar, ar², ar³, …
Suku pertama = a = U₁
Rasio = r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = Un / Un₋₁
Secara umum suku ke-n barisan geometri dinyatakan dengan: U_n = arⁿ⁻¹
b. Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku barisan geometri. Secara umum jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan:
Sn = a (rⁿ – 1}) / r – 1 (untuk r>1)
Sn = a(1 –rⁿ) / 1 – r (untuk r <1)
Berikut contoh soalnya.
Contoh 1
Diketahui barisan bilangan 3,4,7,12,19,…
Nilai suku ke-12 berdasarkan pola barisan di atas adalah….
a. 103
b. 124
c. 147
d. 172
PENYELESAIAN
Nilai suku ke-n merupakan jumlah antara suku pertama dengan jumlah (n – 1) suku pertama pada bagian pola.
Un = U₁ + Sn₋₁
Untuk n=12 diperoleh:
U₁₂ = U₁ + S₁₂₋₁
= U₁ + S₁₁
= 3 + (1 + 3 + 5 + … + 12)
= 3 + 11/2 x (1 + 21)
= 3 + 11/2 x 22
= 3 + 121 = 124
Jadi, nilai suku ke-12 barisan bilangan tersebut yaitu 124
Contoh 2
Pak Budi akan membagikan sejumlah uang kepada lima anaknya. Uang yang akan dibagikan terdiri atas lembaran dua ribuan. Banyak uang yang dibagikan kepada tiap-tiap anak membentuk barisan geometri. Jika dua anak terakhir berturut-turut memperoleh 8 lembar dan 4 lembar, jumlah uang yang dibagikan Pak Budi sebesar….
a. 124.000,00
b. 144.000,00
c. 248.000,00
d. 300.000,00
PENYELESAIAN
Banyak lembaran uang yang dibagikan kepada tiap-tiap anak membentuk barisan geometri dengan U₄ = 8 danU₅ = 4
Rasio = r = U₅/U₄ = 4/8 = ½
U₅ = ar⁴ = 4
a (1/2)⁴ = 4
a x (1/16) = 4
a = 4 x 16 = 64
Diperoleh barisan geometri dengan a = 64 dan r = ½ sehingga:
S₅ = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴
= 64 + 32 + 16 + 8 + 4
= 124
Jumlah uang = 124 x Rp2.000,00 = Rp248.000,00
Jadi, jumlah uang yang dibagikan Pak Budi yaitu sebesar Rp248.000,00
Contoh 3
Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 6 adalah….
a. 780
b. 798
c. 810
d. 816
PENYELESAIAN
Suatu bilangan yang habis dibagi 6 berarti bilangan tersebut kelipatan dari 6. Jumlah bilangan kelipatan 6 antara 10 dan 100 yaitu 12 + 18 + 24 + … + 98
Deret bilangan di atas merupakan deret aritmetika dengan a = 12, b = 6 dan Un = 96.
Banyak suku deret tersebut yaitu :
Un = 96
a + (n – 1)b = 96
12 + (n – 1)6 = 96
12 + 6n – 6 = 96
6n = 96 + 6 – 12
6n = 90
n = 15
Banyak suku deret tersebut ada 15
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n/2 (a + Un)
Jumlah deret tersebut yaitu:
S₁₅ = 15/2 x (a + U₁₅)
= 15/2 x (12 + 96)
= 15/2 x 108
= 810
Jadi, jumlah bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 6 adalah 810
Contoh 4
Suku ke-8 dan suku ke-12 barisan aritmetika berturut-turut 18 dan 34. Nilai suku ke-18 barisan tersebut adalah….
a. 58
b. 64
c. 78
d. 96
PENYELESAIAN
Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan: Un = a + (n-1)b
Suku ke-8 bernilai 18 diperoleh:
U₈ = 18
a + (8 – 1)b = 18
a + 7b = 18 …persamaan 1
Suku ke-12 bernilai 34 diperoleh
U₁₂ = 34
a + (12 – 1)b = 34
a + 11b = 34 …persamaan 2
Eliminasi a dari persamaan 1 dan persamaan 2, maka akan diperoleh nilai b seperti berikut ini:
a + 11b = 34
a + 7b = 18
—————– –
4b = 16
a = 4
Substutusikan b = 4 kedalam persamaan 1
a + 7b = 18
a + 7(4) = 18
a + 28 = 18
a = -10
Diperoleh a = -10 dan b = 4
Nilai suku ke-18 yaitu:
U₁₈ = a + (18 – 1)b
= a + 17b
= -10 + 17(4)
= -10 +68 = 58
Jadi, nilai suku ke-18 yaitu 58.
Contoh 5
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n² – n. Nilai suku ke-20 deret tersebut adalah….
a. 74
b. 77
c. 83
d. 87
PENYELESAIAN
Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama yaitu Sn = 2n² – n diperoleh:
S₁ = 2 x 1² – 1 = 1
S₂ = 2 x 2² – 2 = 6
S₃= 2 x 3² – 3 = 15
Dari ketiga nilai di atas diperoleh nilai suku-suku deret aritmetika
U₁ = S₁ = 1
U₂ = S₂ – S₁ = 6 – 1 = 5
U₃ = S₃ – S₂ = 15 – 6 = 9
Deret aritmetika tersebut yaitu : 1 + 5 + 9 + …
Diperoleh a = 1dan b = 4
Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan Un = a + (n – 1)b. Nilai suku ke-20 diperoleh:
U₁₀ = a + (20 – 1)b
= a + 19b
= 1 + 19(4)
= 1 + 76 = 77
Contoh 6
Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah….
a. 8700
b. 6804
c. 6360
d. 6300
PENYELESAIAN
Bilangan kelipatan 3 dan 4 berarti kelipatan 12. Jumlah bilangan kelipatan 12 antara 200 dan 450 yaitu 204 + 216 + 228 + … + 444
Jumlahan tersebut merupakan deret aritmetika dengan a = 204 dan b = 12
Un = a + (n – 1)b
444 = 204 + (n – 1)12
240 = (n – 1)12
n – 1 = 20
n = 21
Dengan demikian, jumlah deret aritmetika yang diperoleh yaitu:
S₂₁ = ½ x 21 x (U₁ + U₂₁)
= ½ x 21 x (204 + 444)
= ½ x 21 x 648
= 6804
Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah 6804.
Nahhh bagaimana dengan soal-soal dan pembahasannya??? Mudah kann…
Gengs jangan lupa banyak berlatih mengerjakan soal-soal latihan.
