Contoh Soal Definisi Turunan dan Pembahasan

Definisi Turunan – Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi soal plus dengan pembahasannya tentang turunan. Dimana pada lima soal berikut kita akan menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi dari turunan. Untuk contoh soal tentang menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan rumus-rumus turunan dan aturan rantai, Gengs dapat menyaksikannya pada postingan saya dilain kesempatan. Langsung saja Gengs, berikut adalah lima contoh soal tersebut.

 

Soal: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan g ‘(x) bila  g(x)=x²+x-2.

 

\(g'(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\)

        \(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{2}+x-2)-0}{x-1}\)

        \(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}\)

        \(=\lim_{x\rightarrow 1}(x+2)\)

           =  3

 

\(g'(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}\)

          \(=lim_{h\rightarrow 0}\frac{[(1+h)^{2}+(1+h)-2]-0}{h}\)

          \(=lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+2h+h^{2}+1+h-2}{h}\)

          \(=lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+3h}{h}\)

          \(=lim_{h\rightarrow 0}(h+3)\)

           =   3

 

Soal: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan f ‘(x) jika f(x)=2x²-4.

 

\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

          \(=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)^{2}-4(x+h)-(2x^{2}-4x)}{h}\)

          \(=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(2h+4x-4)}{h}\)

          \(=\lim_{h\rightarrow 0}(2h+4x-4)\)

            =  4x – 4

 

\(f'(x)=\lim_{c\rightarrow x}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\)

          \(=\lim_{c\rightarrow x}\frac{(2x^{2}-4x)-(2c^{2}-4c)}{x-c}\)

          \(=\lim_{c\rightarrow x}\frac{2(x^{2}-c^{2})-4(x-c)}{x-c}\)

          \(=\lim_{c\rightarrow x}\frac{2(x-c)[(x+c)-2]}{x-c}\)

          \(=\lim_{c\rightarrow x}2[(x+c)-2]\)

           =   4x – 4

 

Soal: Diketahui fungsi f dengan \(f(x)=x^{2}-4\).

(a) Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan f ‘(1)

(b) Tentukan persamaan garis singgung kurva f di titik (1,-3)

 

(a) Diperoleh sebagai berikut ini:

                   \(f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

                              \(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{2}-4)-(-3)}{x-1}\)

                              \(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)

                              \(=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)\)

                              =   2

 

(b) Persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melewati (1,-3) adalah sebagai berikut:

      y – (-3) = 2( x – 1)

         y + 3 = 2x – 2

               y  = 2x – 2 – 3

                   = 2x – 5

 

Soal: Diketahui fungsi f dengan \(f(x)=\pi ^{2}+`1\). Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan   f ‘(0).

 

\(f(x)=\pi ^{2}+`1\),  maka:

                                        \(f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)

                                                   \(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\pi ^{2}+1)-(\pi ^{2}+1)}{x}\)

                                                   \(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{0}{x}=0\)

 

Soal: Tentukan f ‘(1) bila didefinisikan fungsi f sebagai berikut ini:

\(f(x)=left\begin{matrix} 2-x^{2}; &x\leq 1 \\ 3x^{2}-2; & x> 1 \end{matrix}right\)

 

f ‘(1) dari arah kiri yaitu sebagai berikut:

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{(2-x^{2})-1}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{(1-x)(1+x)}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-(1+x))\)

\(=-(1+1)=-2\)

 

f ‘(1) dari arah kanan yaitu sebagai berikut:

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{(3x^{2}-2)-1}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{3(x^{2}-1)}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{3(x-1)(x+1)}{x-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}3(x+1)\)

=   6

 

Karena

             \(\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

maka f ‘(1) tidak ada.

 

Demikian Contoh Soal dan Pembahasan Turunan. Semoga bermanfaat.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.