Rangkuman dan Contoh Soal – Teknik Pengintegralan: Substitusi yang Merasionalkan dan Substitusi Trigonometri

Apa itu metode substitusi dalam teknik pengintegralan ??? Berikut ini merupakan maksud dari substitusi dalam teknik pengintegralan.

Integral dalam bentuk
$int f(g(x))g'(x)dx$
dapat dituliskan sebagai berikut.
$int f(u)du$
dengan substitusi u = g(x) dan du = g'(x) dx. Jika F adalah anti-turunan f, maka
$int f(g(x))g'(x)dx$
$=int f(u)du$
$=F(u)+C$
$=F(g(x))+C$

Keberhasilan metode ini sangat tergantung dari pemisalan yang tepat dari bagian integran sebagai u sehingga rumus-rumus dasar pengintegralan dapat digunakan. Bagi integral berbatas atau integral tentu, metode substitusi dapat dalam bentuk langsung mengubah batas integralnya seperti berikut ini:
$int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=int_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du$

CONTOH 1
Tentukan integral berikut ini:
$int x^2 sqrt{10-x^3}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
u=10-x³, maka
du=-3x² dx
Sehingga akan menjadi
$=frac{1}{3}intsqrt{u}du$
$=frac{1}{3}int u^frac{1}{2}du$
$=frac{1}{3}.frac{2}{3}.u^frac{3}{2}+C$
$=frac{2}{9}(10-x^3)sqrt{10-x^3}$
$=-frac{20}{9}sqrt{10-x^3}+2x^3sqrt{10-x^3}$

CONTOH 2
Tentukan integral berikut ini:
$int_{e}^{e^2}begin{pmatrix} frac{1}{x ln x} end{pmatrix}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
x = ln x, maka du = 1/x dx
Jangan lupa juga, karena soal diatas merupakan intergral tentu maka  nilai batasannya kita ubah. Sehingga diperoleh seperti berikut ini:
x = e maka u = ln e = 1
$x=e^2$ maka $u=ln e^2 = 2$
Sehingg integralnya akan menjadi seperti di bawah ini.
$=int_{1}^{2}frac{du}{u}$
$=ln |u|]^2_{1}$
$=ln |2| -ln |1|$
$=ln |2|$

Bentuk $sqrt[n]{ax+b}$  disebut ketakrasionalan linear, karena (ax + b) berbentuk linear dalam peubah x, tetapi bentuk linear itu berada di bawah tanda akar. Jika bentuk ketakrasionalan linear semacam ini menjadi integran dari suatu integral, maka substitusi akan menghilangkan tanda akarnya.

Apabila integran mengandung beberapa pangkat pecahan dari peubah x, substitusi uⁿ=x seringkali sangat efektif. Dalam hal ini n adalah kelipatan persekutuan terkecil penyebut dari pangkat.

CONTOH 3
Tentukan integral berikut ini.
$int xsqrt[5]{x-7}dx$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama seperti contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:
$u=sqrt[5]{x-7}$
$u^5=x-7rightarrow 5u^4du=dx$
$x=u^5+7$
Sehingga
$=int (u^5+7)(u)(5u^4)du$
$=int (u^5+7)5u^5du$
$=int (5u^10+35u^5)du$
$=frac{5}{1}u^11+frac{35}{6}u^6+C$
$=frac{5}{1}((x-7)^1/5)^11+frac{35}{6}((x-7)^1/5)^6+C$
$=frac{5}{1}((x-7)^11/5+frac{35}{6}(x-7)^6/5+C$

CONTOH 4
Tentukan integral berikut.
$int xsqrt[3]{(x+2)^2}dx$
Jawab:
Misalkan:
$u=sqrt[3]{(x+2)^2}=(x+2)^2/3$
$u^2/3=x+2rightarrow x=u^2/3-2$
$frac{3}{2}u^1/2 du=dx$
Sehingga
$=int (u^3/2-2)ufrac{3}{2}u^1/2du$
$=int (u^3/2-2)frac{3}{2}u^3/2du$
$=int (frac{3}{2}u^3-3u^3/2)du$
$=frac{3}{2}frac{1}{4}u^4-frac{3}{5/2}u^5/2+C$
$=frac{3}{2}frac{1}{4}((x+2)^2/3)^4-frac{3}{5/2}((x+2)^2/3)^5/2+C$
$=frac{3}{8}(x+2)^8/3-frac{6}{5}(x+2)^5/3+C$

CONTOH 5
Tentukan integral berikut ini
$int frac{3^2x}{3^x+2}dx$
Jawab:
$=int3^x begin{pmatrix} frac{3^x}{3^x+2} end{pmatrix}dx$

Untuk menjawab soal ini, sama seperti contoh sebelumnya yaitu kita tentukan dahulu u-nya.
Misalkan:
$u=3^x+2$, maka
$du=3^xln 3 dx$
Sehingga
$=int frac{u-2}{u}frac{1}{ln 3}du$
$=frac{1}{ ln3}int frac{u-2}{u}du$
$=frac{1}{ ln3}begin{bmatrix} int du-2int frac{du}{u} end{bmatrix}$
$=frac{u}{ln3}-frac{2ln u}{ln3}+C$
$=frac{3^x+2}{ln3}-frac{2ln 3^x+2}{ln3}+C$

Yang perlu kita ketahui, substitusi trigonometri akan berlaku apabila integran mengandung ekspansi-ekspansi seperti berikut ini:
1. $sqrt{a^2-u^2}$
2. $sqrt{a^2+u^2}$, atau
3. $sqrt{u^2+a^2}$
dengan a merupakan konstanta bilangan nyata dan u merupakan variabel.
Sehingga lakukan pemisalan sebagai berikut ini.
Untuk ekspansi nomor 1
Misalkan, $u=asin theta$
Untuk ekspansi nomor 2
Misalkan, $u=atan theta$, dan
Untuk ekspansi nomor 3
Misalkan, $u=asec theta$

CONTOH 6
Tentukan integral berikut ini:
$int frac{2e^x}{sqrt{1-e^2x}}$
Jawab:
Untuk mengerjakan soal seperti ini kita mengacu lagi pada catatan di atas. Pertama-tama kita tentukan dahulu nilai a dan u-nya.
Dari soal di atas dapat kita peroleh bahwa:
$a=1,u=e^x$
Maka, nilai u-nya yaitu:
$u=1sin theta$
$e^x=sin theta rightarrow e^xdx=cos theta dtheta$
Sehingga,
$=2int frac{e^x}{sqrt{1-e^2x}}dx$
$=2int frac{cos theta dtheta }{sqrt{1-sin^2 theta }}$
$=2int frac{cos theta dtheta }{sqrt{cos^2 theta }}$
$=2int dtheta$
$=2theta$
$=2arcsin e^x$

CONTOH 7
Tentukan integral berikut ini:
$int frac{x}{sqrt{1+4x^2}}dx$
Jawab:
Sebelum mengerjakan lebih lajut, pertama-tama tentukan dahulu:
a=1,u=2x, maka
$u=1tan theta$
$2x=1tantheta$
$2dx=sec^2theta dtheta$
Sehingga
$=int frac{tan theta sec^2 theta dtheta }{2sqrt{1+4.frac{1}{4}.tan^2 theta .2}}$
$=frac{1}{4}int frac{tan theta sec^2 theta dtheta }{sqrt{1+tan^2 theta}}$
$=frac{1}{4}int frac{tan theta sec^2 theta dtheta }{sqrt{sec^2 theta}}$
$=frac{1}{4}int tan theta sec theta dtheta$
$=frac{1}{4} sec theta +C$
$=frac{1}{4} sqrt{1+4x^2}+C$

Sampai disini dulu ya Gengs. Semoga bermanfaat.

Terima kasih.