Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks 3×3. Perhitungan determinan suatu matriks dengan ukuran lebih besar sangat rumit jika menggunakan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan matriks segi adalah dengaz minor kofaktor elemen matriks tersebut.
Cara ini dijelaskan sebagai berikut:
Misalkan Aᵢⱼ adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks Aₘₓₙ.
Didefinisikan sebagai berikut:
- Minor elemen aᵢⱼ diberi notasi Mᵢⱼ, adalah Mᵢⱼ=det(Aᵢⱼ).
- Kofaktor elemen aᵢⱼ, diberi notasi αᵢⱼ, adalah αᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲ.
Contoh:
Misalkan suatu matriks A berukuran 3×3 seperti berikut ini:
\[\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}\]
maka diperoleh:
Perhitungan Determinan dengan Minor-Kofaktor
Definisi: Misalkan suatu matriks A = (aᵢⱼ)ₙₓₙ dan aᵢⱼ kofaktor elemen aᵢⱼ, maka:
Contoh 1:
Hitunglah determinan matriks berikut”
\[\begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &1 \end{pmatrix}\]
Jawab:
Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut kita gunakan definisi di atas, dengan memilih baris ke-2, sehingga:
det(A)=a₂₁ α₂₁+a₂₂ α₂₂+a₂₃ α₂₃
Dalam hal ini, a₂₁=1,a₂₂=3, a₂₃=2, dan
Dalam hal ini, a₂₁=1,a₂₂=3, a₂₃=2, dan
Jadi, det(A)=1(-1) + 3(3) + 2(9) = 26
Selanjutnya dengan menggunakan definisi diatas lagi, kita juga bisa dengan memilih baris/kolom lainnya, misal dipilih kolom ke-3, maka:
\(det(\mathbf{A})=a_{13}\alpha _{13}+a_{23}\alpha _{23}+a_{33}\alpha _{33}\)
dalam hal ini,\(a_{13}=1,a_{23}=2,a_{33}=1\), dan
dalam hal ini,\(a_{13}=1,a_{23}=2,a_{33}=1\), dan
Jadi, det(A) = 1(-3) + 2(9) + 1(11) = 26
Apabila kita perhatikan pada hasil akhir pada penyelesaiannya, kita akan dapatkan hasil yang sama. Maka kita cukup memilih satu baris atau kolom saja untuk mengerjakan soal seperti diatas.
Contoh 2:
Tentukan determinan matriks A₃ₓ₃ berikut ini:
\[\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\]
Jawab:
Dengan menggunakan definisi di atas, dengan memilih baris ke-1
Dengan menggunakan definisi di atas, dengan memilih baris ke-1
Jadi didapatkan seperti dibawah ini:
Jika diperhatikan, sebenarnya rumus pada metode Sarrus diperoleh dari metode minor-kofaktor.
Perhatikan bahwa tanda untuk kofaktor bergantung pada penjumlahan i dan j. Untuk memudahkan perhitungan determinan dengan menggunakan minor-kofaktor, perhatikan tabel berikut:
Jika dipilih baris ke-1, maka: det(A)=a₁₁M₁₁-a₁₂M₁₂+…
Jika dipilih baris ke-2, maka: det(A)=a₂₁M₂₁-a₂₂M₂₂+…
dan seterusnya.
