Transpos Matriks dan Determinan Matriks Segi

Transpos Matriks

Transpos dari suatu matriks A, ditulis Aᵀ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari A menjadi kolom, atau mengganti setiap kolom dari A menjadi baris. sehingga, jika A=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, maka Aᵀ=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, seperti berikut:

$$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &. &. &. &a_{m1} \\ a_{12} &a_{22} &. &. &. &a_{m2} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{1n} &a_{2n} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}$$

Jika matriks A berukuran m x n , maka matriks Aᵀ berukuran n x m

Sifat-sifat Matriks Transpose

•  (A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ
•  (kAᵀ)=kAᵀ, untuk suatu matriks skalar k
• (Aᵀ)ᵀ=A
• (ABᵀ)=BᵀAᵀ

Contoh:

$$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix} , $$

1. 3A – 2B

$$3\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 3 &6 &9 \\ 15 &18 &21 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 12 &8 &10 \\ 6 &8 & 6 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -9 &-2 &-1 \\ 9& 10 & 15 \end{pmatrix}$$

 2. CAᵀ=AᵀCᵀ

$$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix}, C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}$$

 $$A^{T}C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 &23 \\ 14 &30 \\ 17 &37 \end{pmatrix}$$

Determinan suatu Matriks Segi

Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, dedefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentu.

1. Jika matriks A berukuran 1×1, yaitu
A=(a₁₁)
maka det(A) = |A|= a₁₁

2. Jika matriks A berukuran 2×2
\(A_{2×2}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)
maka det(A) = \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
Pada matriks segi \(a_{11},a_{22},a_{12},a_{21}\) , dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2×2

3. Jika matriks A berukuran 3×3

$$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$
maka det(A)= \((a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21}  a_{32}) -\)

$$ (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23}  a_{32})$$

Metode ini sering dikenal dengan metode Sarrus

Contoh:
Dengan menggunakan metode Sarrus, tentukan determinan matriks dari
$$A=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 & 4 \end{pmatrix}$$

Jawab:
Untuk memudahkan perhitungan, salinlah dua kolom pertama dari matriks ke sebelah kanan matriks menjadi:

$$\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 &4 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 &1\\ -1 &3\\ -2 &0 \end{matrix}$$

Terima kasih dan semoga bermanfaat.