Transpos dan Determinan Matriks Segi

Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang transpos dan determinan matriks segi.

Transpos Matriks

Transpos dari suatu matriks A, ditulis Aᵀ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari A menjadi kolom, atau mengganti setiap kolom dari A menjadi baris. sehingga, jika A=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, maka Aᵀ=(aᵢⱼ)ₘₓₙ, seperti berikut:

$$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &. &. &. &a_{m1} \\ a_{12} &a_{22} &. &. &. &a_{m2} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{1n} &a_{2n} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}$$

Jika matriks A berukuran m x n , maka matriks Aᵀ berukuran n x m

Sifat-sifat Matriks Transpose

•  (A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ
•  (kAᵀ)=kAᵀ, untuk suatu matriks skalar k
• (Aᵀ)ᵀ=A
• (ABᵀ)=BᵀAᵀ

Contoh:

$$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix} , $$

1. 3A – 2B

$$3\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 3 &6 &9 \\ 15 &18 &21 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 12 &8 &10 \\ 6 &8 & 6 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -9 &-2 &-1 \\ 9& 10 & 15 \end{pmatrix}$$

 2. CAᵀ=AᵀCᵀ

$$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix}, C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}$$

 $$A^{T}C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 &23 \\ 14 &30 \\ 17 &37 \end{pmatrix}$$

Determinan suatu Matriks Segi

Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, dedefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentu.

1. Jika matriks A berukuran 1×1, yaitu
A=(a₁₁)
maka det(A) = |A|= a₁₁

2. Jika matriks A berukuran 2×2
\(A_{2×2}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)
maka det(A) = \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
Pada matriks segi \(a_{11},a_{22},a_{12},a_{21}\) , dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2×2

3. Jika matriks A berukuran 3×3

$$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$
maka det(A)= \((a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21}  a_{32}) -\)

$$ (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23}  a_{32})$$

Metode ini sering dikenal dengan metode Sarrus

Contoh:
Dengan menggunakan metode Sarrus, tentukan determinan matriks dari
$$A=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 & 4 \end{pmatrix}$$

Jawab:
Untuk memudahkan perhitungan, salinlah dua kolom pertama dari matriks ke sebelah kanan matriks menjadi:

$$\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 &4 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 &1\\ -1 &3\\ -2 &0 \end{matrix}$$

Determinan matriks A tersebut adalah

Terima kasih dan semoga bermanfaat.