Program Linear adalah suatu teknik optimalisasi dengan variabel-variabel linear. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan – batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimal.
DASAR MATEMATIS
Grafik ax+by=c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas sedangkan titik-titik yang memenuhi ax+by>c atau ax+by<c merupakan suatu daerah.
Persamaan linear ax+by=c membagi bidang dalam tiga bagian yaitu:
- Titik-titik yang memenuhi persamaan ax+by=c
- Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by<c
- Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by>c
Ket:
x ,y merupakan variabel
a ,b ,c merupakan konstanta
DAERAH PENYELESAIAN
Untuk menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan bentuk ax+by≤c atau ax+by≥c.
Berikut adalah langkah-langkahnya:
- Gambarkan grafik ax+by=c
- Pilih sembarang titik yang mewakili suatu daerah, substitusikan koordinat tersebut ke pertidaksamaan
- Jika benar, maka daerah yang dimaksud adalah daerah titik tersebut berada
- Jika salah, maka daerah yang dimaksudkan adalah di pihak lain dari daerah titik tersebut berada.
- Untuk memudahkan, nyatakan daerah yang dimaksud dengan anak panah. Untuk menentukan pertidaksamaan dari daerah penyelesaian yang diketahui, langkah-langkahnya:
- Beri anak panah penyelesaian dari daerah yang diarsir
- Tentukan persamaan f (x) = 0 dan g (x)= 0
- Ambil sembarang titik yang memenuhi 1 kemudian substitusikan ke f(x)
- Ambil sembarang titik yang memenuhi 1 kemudian substitusikan ke g(x)
4. Dapatkan tanda pertidaksamaan yang sesuai. Untuk menentukan pertidaksamaan dari daerah
a. Ambil salah satu daerah, tentukan pertidaksamaan yang memenuhi
b. Penyelesaiannya adalah perkalian dari pertidaksamaan tersebut
NILAI OPTIMUM
Nilai optimum adalah nilai maksimum atau minimum pada suatu program linear. Fungsi yang dicari nilai optimumnya disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi tujuan sedangkan fungsi-fungsi pertidaksamaan yang membatasi disebut sebagai fungsi pembatas atau fungsi kendala.
Ada 2 metode untuk menentukan nilai optimum, yaitu:
1. Poligon dan titik ekstrim
Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian membentuk suatu poligonal. Titik p disebut titik ekstrim dari poligon jika p adalah titik potong garis-garis yang membentuk pologon tersebut.
- Jika f(x , y) = px + py adalah suatu fungsi linear yang didefinisikan pada suatu poligon maka nilai maksimum/minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya.
- Jika maksimum/mInimumnya dicapai pada dua titik yang berbeda maka
maksimum/minimumnya juga dicapai pada titik-titik lain yang terletak
pada garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
2. Garis selidik
Garis selidik adalah garis fungsi tujuan yang digeser secara sejajar.
Misalkan fungsi tujuannya adalah f(x,y) = px + qy maka garis selidiknya adalah px + qy = k, untuk (x,y) tertentu, k merupakan nilai dari fungsi tujuan tersebut.
Beberapa kemungkinan tentang garis selidik:
-
- Jika k = 0 maka px + qy = 0 garis melalui titik (0,0)
- Garis tersebut digeser sejajar ke kanan atau ke kiri sehingga menyentuh
titik terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah nilai
maksimum/minimum diperoleh. - Menggunakan garis selidik baik dilakukan jika poligon yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya.
MODEL MATEMATIK
Masalah program linear adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Optimalisasi itu harus dibentuk dahulu model matematiknya, yang secara garis besar dibagi dua bagian yaitu fungsi tujuan dan persyaratannya.
Langkah-langkah penyelesaiannya:
- Tentukan variabel model matematiknya (x dan y)
- Tentukan jenis masalah
- Tentukan fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendalanya
- Tentukan daerah penyelesaian, gambarkan grafiknya, diperoleh poligon dan titik ekstrimnya
- Substitusikan fungsi tujuan ke titik ekstrim tersebut atau gunakan garis selidik
Demikian penjelasan singkat dari “Program Linear (Model Matematik) SMA Kelas 11“. Semoga bermanfaat.
