Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks

Suatu matriks A dikatakan ekuivalen dengan matriks B, jika B diperoleh dari A dengan menerapkan beberapa operasi yang disebut operasi dasar atau operasi elementer. Suatu matriks dapat ekuivalen secara baris maupun kolom terhadap matriks yang lainnya. Jika ekuivalen secara baris, maka matriks itu diperoleh dengan operasi baris dasar, sedangkan jika ekuivalen secara kolom, maka matriks itu diperoleh dengan operasi kolom dasar.

Namun kali ini hanya akan dibicarakan operasi baris dasar terhadap matriks.

Jenis-jenis operasi baris dasar terhadap matriks antara lain:
1. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j, diberi notasi Eᵢⱼ, dengan i # j
2. Menempatkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi \(E_{ij(k)}\) dengan i # j
3. Mengalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k # 0, diberi notasi \(E_{i(k)}\)

Secara umum, operasi baris dasar yang dilakukan berturut-turut mulai dari E₁, lalu E₂, hingga Eₚ terhadap matriks A untuk mendapatkan matriks B dinotasikan dengan :
\(E_{p}E_{p-1}E_{p-2}…E_{2}E_{1}(\mathbf{A})=\mathbf{B}\)

Contoh 1:

Misal diberikan suatu matriks A sebagai berikut:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\)
Tentukan:
1. Jika \(E_{12}(\mathbf{A})=\mathbf{A}_{1}\), tentukan \(\mathbf{A}_{1}\)

Caranya:

Pada soal ini, i=1 dan j=2. Apa bila kita perhatikan kembali jenis-jenis operasi baris dasar di atas, maka kita dapat gunakan nomor 1. Dimana kita tinggal menukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2. Sehingga akan diperoleh sebagai berikut:
\(\mathbf{A}_{1}=E_{12}(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \\ 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\)

2. Jika \(E_{23(-1)}(\mathbf{A})=\mathbf{A}_{2}\), tentukan \(\mathbf{A}_{2}\)

Caranya:

Pada soal ini, i=2 ,  j=3 dan k = -1. Maka, jika kita perhatikan lagi jenis-jenis operasi baris dasar diatas mata kita dapat gunakan nomor 2. Dimana kita tinggal mengalikan -1 dengan baris ke-3 kemudian ditambah baris ke-2. Kemudian hasilnya ditempatkan pada baris ke-2.

Langkah 1:
\[\begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &1 &4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 &-1 &-4 \end{pmatrix}\]
Langkah 2:
\[\begin{pmatrix} -1 &-1 &-4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 &1 &2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 &0 &-2 \end{pmatrix}\]
Langkah 3:
Sehinga baris kedua dari matriks A tidak lagi \(\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \end{pmatrix}\)  namun \(\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \end{pmatrix}\), seperti berikut:
\[\mathbf{A}_{2}=E_{23(-1)}(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &0 &-2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\]

3. Jika rangkaian operasi baris dasar yang dilakukan berturut-turut mulai dari \(E_{12}\), lalu \(E_{13(2)}\), dan \(E_{2(-1)}\) terhadap matriks A sehingga matriks \(\mathbf{A}_{3}\), tentukan \(\mathbf{A}_{3}\)

Caranya:

Jika matriks A dikenakan serangkaian operasi baris dasar berturut-turut E₁₂,\(E_{13(2)}\), dan \(E_{2(-1)}\) sehingga menjadi matriks \(\mathbf{A}_{3}\), maka matriks \(\mathbf{A}_{3}\) ditulis sebagai berikut [seperti yang dijelaskan di atas:
\[\mathbf{A}_{3}=E_{2(-1)}E_{13(2)}E_{12}(\mathbf{A})\]
langkah-langkah pengerjaannya di mulai dari arah kiri
Dapat ditulis juga sebagai berikut:
\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\]

Selanjutnya kita cari \(E_{12}\)  dari matriks A, sehingga akan diperoleh [caranya sama dengan nomor 1]:
\[E_{12}=\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \\ 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\]

Selanjutnya dari hasil tersebut kita cari \(E_{13(2)}\). Dengan cara seperti yang telah dikerjakan pada contoh sebelumnya, maka akan diperoleh:
\[E_{13(2)}=\begin{pmatrix} 4 &3 &10 \\ 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}\]

Selanjutnya dari hasil di atas kita lanjutkan untuk menghitung \(E_{2(-1)}\).Untuk pengerjaan ini, kita hanya mengalikan baris ke-2 dengan -1. Seperti berikut:
\[\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 &-2 &-3 \end{pmatrix}\]

kemuadian ganti baris ke-2 yang sebelumnya seperti berikut
\[\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}\]

dengan
\[\begin{pmatrix} -1 &-2 &-3 \end{pmatrix}\]

sehingga akan diperoleh \(E_{2(-1)}\) sebagai berikut:
\[E_{2(-1)}=\begin{pmatrix} 4 &3 &10 \\ -1 &-2 &-3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}=\mathbf{A}_{3}\]

Contoh 2:

Misalkan diberikan matriks A seperti dibawah ini:
\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 &-3 \\ 2 &6 &-10 \\ 1 &-2 &9 \end{pmatrix}\]
Lakukan operasi baris dasar sehingga diperoleh matriks segitiga atas dengan unsur diagonal utamanya 1.
Jawab: