Contoh Soal Limit dan Kekontinuan disertai Jawaban

Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal tentang limit, kekontinuan dan teorema apit plus dengan jawabannya.
 
Sebelum masuk pada contoh soal, ada baiknya jika terlebih dahulu Gengs mempelajari dan mengerti materinya. Untuk membaca/mempelajari materinya, Gengs bisa klik Limit dan Kekontinuan

Langsung saja, berikut ini adalah contoh-contoh soal limit, kekontinuan dan teorema apit beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika tidak ada maka berikan alasannya.
\(1. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
\(2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}\)

Jawab:
1. Diperoleh:
\(\lim_{x\rightarrow2 }\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow2 }\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1\)

2. Diperoleh
Karena

\(|x|=\begin{cases} x & \text{ , } x\geq 0 \\ -x & \text{ , } x\lt 0 \end{cases}\)
maka:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=3\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{-x}=+\infty\)
Sehingga:
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty\)

Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:
\(f(x)=\left{\begin{matrix} x^{2} &;x\leq a \ 2x+3 & ;x> a \end{matrix}\right\)
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
\(f(a)=a^{2}\)
\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3\)
\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}x^{2}=a^{2}\)
Agar f kontinu di x = a maka haruslah
\(a^{2}=2a+3\Leftrightarrow a^{2}-2a-3 =0\Leftrightarrow (a-3)(a+1)\Leftrightarrow a=3 ; a=-1\)

Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jika ada:
\(\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )\)

\(=\lim_{x\rightarrow 25}2001+\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)}{\sqrt{x}-5}.\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}\)
\(=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)(\sqrt{x}+5)}{x-25}\)
\(=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\sqrt{x}+5=2001+5+5=2011\)

Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a) \(\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)=1+2009=2010\)

b) \(\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}\) tidak mempunyai limit karena \(\sqrt{x-1}\) tidak terdefinisi di x < 1.

c) \(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}(3-\frac{2}{x+2}-x)=-\infty\)

d) \(\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{2-x}\)

Jawab:
Misalkan \(f(x)=\sqrt{2-x}\), maka f terdefinisi bila 2 – x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga \(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}\) tidak ada. Akibatnya \(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}\) tidak ada.

Pelajari juga : Limit dan Kekontinuan – Contoh+Penyelesaiannya

Bagian 5
Diketahui:
\(f(x)=\begin{cases} -2 & \text{ , } -4\leq x\leq -1 \\ x-1 & \text{ , } 1< x\leq 0 \\ x^{2}&\text{,} x\gt 0\end{cases}\)
Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}=0\)
karena -1 # 0 maka limit \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(-2)=-2\)
\(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}(x-1)=-2\)
sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:
\(\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1;\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=2; \lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2\)
Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)\) beserta alasannya.

Jawab:
a) f (-1) = 2 karena f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga \(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2=f(-1)\)
b) \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2\) karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2=f(3)\)

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) – cos x| =< g(x) -5. Jika \(\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5\) maka dengan menggunakan Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\).

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) – cos x| =< g(x) -5
<==> – (g(x) – 5) =< f(x) – cos x =< g(x) -5
<==> 5 – g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) – 5 + cos x
Karena \(\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5\) maka:
\(\lim_{x\rightarrow 0}(5-g(x)+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}(-g(x))+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 0}(g(x)-5+\cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)+\lim_{xrightarrow 0}5+lim_{x\rightarrow 0}cos x=1\)
sehingga menurut Teorema Apit \(|lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1\)

Bagian 8
Dengan menggunakan Teorema Apit, hitunglah:
\(\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{\sin x}{x} \right |\)

Jawab:
Diperoleh:
\(-1\leq \sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq \left | \sin x \right |\leq 1\)
\(\Leftrightarrow 0\leq \left | \frac{\sin x}{x}\right |\leq \frac{1}{\left | x \right |}\)
\(\Leftrightarrow 0\leq x^{2} \left | \frac{\sin x}{x}\right |\leq \frac{x^{2}}{\left | x \right |}\)
Karena \(\lim_{x\rightarrow 0}0=0\) dan
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{ x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{ -x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0\)
sehingga, \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=0\) maka menurut Teorema Apit dapat disimpulkan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{\sin x}{x} \right |=0\)

Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi \(\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq \sin^{2}(x-2)\) untuk semua x adalah bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan \(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\)

Jawab:
\(\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq \sin^{2}(x-2)\)
\(\Leftrightarrow -\sin ^{2}(x-2)\leq f(x)+1\leq \sin ^{2}(x-2)\)
\(\Leftrightarrow -\sin^{2}(x-2)-1\leq x^{2}f(x)\leq \sin^{2}(x-2)-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{-\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\leq f(x)\leq \frac{\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\)
Karena,
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\)
maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh:
\(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\frac{1}{4}\)

Demikian “Contoh Soal dan Jawaban Limit dan Kekontinuan“. Semoga bermanfaat.

sheetmath

Tinggalkan Balasan

Kembali ke atas