Beberapa terapan integral dalam kehidupan sehari-hari:
1. Peramalan jumlah populasi pada masa untuk beberapa tahun yang akan datang.
2. Penentuan konsumsi energi di Bandung.
3. Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.
Anti Turunan
Definisi dari anti turunan
Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk setiap x∈I.
Teorema anti turunan secara umum
Jika F anti turunan dari f pada interval I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C dengan C adalah konstanta sembarang.
Formula-formula anti turunan
1. Fungsi: kf(x) ; Anti turunan: kF(x) + C ; k=konstanta, C=konstanta
2. Fungsi: f(x) \(\pm\) g(x) ; Anti turunan: F(x) \(\pm\) G(x) + C
3. Fungsi: xⁿ, n-1 ; Anti turunan: xⁿ⁺¹/(n+1)+C; C=konstanta
4. Fungsi: sin x ; Anti turunan: -cos x + C; C=konstanta
5. Fungsi: cos x ; Anti turunan: sin x + C; C=konstanta
6. Fungsi: sec²(x) ; Anti turunan: tan x + C; C=konstanta
7. Fungsi: csc²(x) ; Anti turunan: -cot x + C; C=konstanta
8. Fungsi: sec x tan x ; Anti turunan: sec x + C; C=konstanta
9. Fungsi: csc x cot x ; Anti turunan: -csc x + C; C=konstanta
Luas di Bawah Kurva
- Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luas daerah bidang rata
- Bagaimana menentukan luas daerah bidang rata s yang dibatasi oleh kurva y=f(x)≥0, sumbu-x, garis x = a, x = b? Lihat grafik di atas
Pendekatan persegi panjang untuk menghitung luas
- Buat n persegi panjang dengan luas A₁,A₂_ ,A₃,…,Aₙ
- Luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegi panjang
- Makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A
- Luas A didefinisikan sebagai penjumlahan tak hingga banyak persegi panjang
Lihat gambar di bawah ini:
Perhitungan luas dengan pendekatan persegi panjang
Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y=f(x)≥0 sumbu-x, garis x = a, x = b, maka lakukan:
- Bagi interval [a,b] menjadi n interval bagian a=[x₀,x₁],[x₁,x₂],…,[xₙ₋₁,xₙ] dengan sama panjang, yakni ∆x=\(\frac{b-a}{n}\), sehingga akan berlaku xᵢ=a+i ∆x
- Pada setiap interval bagian \([x_{i-1},xᵢ]\) buat persegi panjang dengan lebar ∆x dan panjang f(xᵢ), sehingga luas Aᵢ=f(xᵢ) ∆x
dengan i = 1,2,3,…
Definisi luas di bawah kurva
Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y=f(x)≥0 sumbu-x, garis x = a, x = b adalah:
\(A=\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}\)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x\)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty }[f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+…+f(x_{n})\Delta x]\)
Rₙ adalah Jumlah Riemen
Berikut ini diberikan formula notasi sigma, diantaranya:
1. \(\sum_{i=1}^{n}c=cn\);
2. \(\sum_{i=1}^{n}cx_{i}= c\sum_{i=1}^{n}x_{i}\)
3. \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm y_{i} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm \sum_{i=1}^{n}y_{i}\)
4. \(\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}\)
5. \(\sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
6. \(\sum_{i=1}^{n}i^{3} = \left ( \frac{n(n+1)}{6} \right )^{2}\)
dengan c adalah konstanta
Integral Tentu
Konsep jumlah Rieman Rₙ (pada luas di bawah kurva) dapat diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x atau S₂.
Jumlah Riemen pada S₂ negatif karena f(xᵢ)< 0
Pada interval [a,b], lambang pada limit jumlah Rieman dapat diganti dengan lambang integral tentu
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
Perhatikan grafik di bawah ini:
Definisi integral tentu
Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x\)
dengan:
\(c_{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\) ; \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\); \([ x_{i-1},x_{i} ]\) adalah interval bagian ke-i dari \([a,b]=[x_{0},x_{n}]\) dimana i adalah 1,2,….
Hasil Evaluasi Integral Tentu
\(\int_{a}^{b}f(x)dx, b\geq a\)
menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu dari tiga kemungkinan berikut:
1. Apabila lebih besar 0 ( >0 )
– Seluruh daerah berada di atas sumbu-x
– Luas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x
2. Apabila lebih kecil 0 ( < 0 )
– Seluruh daerah berada di bawah sumbu-x
– Luas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x
3. Apabila sama dengan 0 ( = 0 )
– f (x) = 0 atau a = b
– Luas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x
Sifat-Sifat Integral Tentu
Berikut adalah sifat-sifat umum dari integral tentu:
1. \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
2. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)
3. \(\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)\)
4. \(\int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx\)
5. \(\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx\)
\(= \int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx\)
6. \(\int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx\)
Pelajari Juga: Soal dan Pambahasan Integral Tentu
Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
- Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.
- Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitungan rumit seperti limit Jumlah Riemann.
- Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial: Teorema Dasar Kalkulus (TDK).
- Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebih
mudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.
Ilustrasi geometri teorema dasar kalkulus 1
Teorema dari Teorema dasar kalkulus 1
Jika f kontinu di [a,b] maka \(F(x)= \int_{a}^{x}f(t)dt\) kontinu pada [a,b], terturunkan pada (a,b), dan turunnannya adalah f(x)
\(F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)
Teorema Dasar Kalkulus 2
Teorema dari teorema dasar kalkulus 2
Jika f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f pada [a,b], maka:
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)
Teorema dasar kalkulus 2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,
jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.
Berdasarkan teorema dasar kalkulus 2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:
1. Tentukan anti turunan F dari f ,
2. Evaluasi F(b) – F(a) .
Integral Tak Tentu
Definisi integral tak tentu
Misalkan F adalah anti turunan f Integral tak tentu f(x) terhadap x adalah
\(\int f(x)dx=F(x)+C\)
– Hasil integral tentu berupa suatu bilangan sedangkan hasil integral tak tentu berupa fungsi.
– Integral tak tentu adalah lambang lain anti turunan.
Formula Integral Tak Tentu
Berikut ini disajikan beberapa formula dari integral tak tentu, diantaranya:
1. \(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
2. \(\int [f(x)\pm g(x)]dx\)
\(=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\)
3. \(\int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1)+C , n\neq -1\)
4. \(\int sinxdx= -cos x +C\)
5. \(\int cosxdx= sin x +C\)
Aturan Substitusi
Aturan substitusi digunakan pada kasus:
– Sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapi
– Bagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.
Teorema aturan substitusi
Jika u = g(x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada \(W_{g}\), maka
\(\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du\)
\(\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du\)
Integral Fungsi Simetri
Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan bahwa:
- Jika f fungsi genap, maka: \(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)\(=2\int_{-a}^{0}f(x)dx\)\(=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
- Jika f fungsi ganjil, maka: \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)
Ilustrasi Geometri (Integral Fungsi Simetri)
Pelajari Juga:
Satu komentar di “Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu dan Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus dan Aturan Substitusi”
Tinggalkan Balasan
Anda harus masuk untuk berkomentar.
I қnow tһis if off tоpic but I’m looking into starting my own blog and was curious
what all is required to ɡet sеtup? I’m assuming hаving a blog like yours would cost
a pretty pеnny? I’m not very web smart so I’m not 100% certain. Any tips or adѵice would be greatly appreciated.
Ⅽheers