Contoh Soal dan Jawaban Limit dan Kekontinuan

Langsung saja, berikut ini adalah contoh-contoh soal limit, kekontinuan dan teorema apit beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika tidak ada maka berikan alasannya.
\(1. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
\(2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}\)

Jawab:
1. Diperoleh:
\(\lim_{x\rightarrow2 }\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow2 }\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1\)

2. Diperoleh
Karena

\(|x|=\begin{cases} x & \text{ , } x\geq 0 \\ -x & \text{ , } x\lt 0 \end{cases}\)
maka:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=3\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{-x}=+\infty\)
Sehingga:
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty\)

Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:
\(f(x)=\left{\begin{matrix} x^{2} &;x\leq a \ 2x+3 & ;x> a \end{matrix}\right\)
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
\(f(a)=a^{2}\)
\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3\)
\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}x^{2}=a^{2}\)
Agar f kontinu di x = a maka haruslah
\(a^{2}=2a+3\Leftrightarrow a^{2}-2a-3 =0\Leftrightarrow (a-3)(a+1)\Leftrightarrow a=3 ; a=-1\)

Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jika ada:
\(\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )\)

\(=\lim_{x\rightarrow 25}2001+\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)}{\sqrt{x}-5}.\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}\)
\(=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)(\sqrt{x}+5)}{x-25}\)
\(=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\sqrt{x}+5=2001+5+5=2011\)

Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a) \(\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)=1+2009=2010\)

b) \(\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}\) tidak mempunyai limit karena \(\sqrt{x-1}\) tidak terdefinisi di x < 1.

c) \(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}\)

Jawab:
\(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}(3-\frac{2}{x+2}-x)=-\infty\)

d) \(\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{2-x}\)

Jawab:
Misalkan \(f(x)=\sqrt{2-x}\), maka f terdefinisi bila 2 – x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga \(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}\) tidak ada. Akibatnya \(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}\) tidak ada.

Bagian 5
Diketahui:
\(f(x)=\begin{cases} -2 & \text{ , } -4\leq x\leq -1 \\ x-1 & \text{ , } 1< x\leq 0 \\ x^{2}&\text{,} x\gt 0\end{cases}\)
Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}=0\)
karena -1 # 0 maka limit \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(-2)=-2\)
\(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}(x-1)=-2\)
sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:
\(\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1;\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=2; \lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2\)
Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)\) beserta alasannya.

Jawab:
a) f (-1) = 2 karena f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga \(\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2=f(-1)\)
b) \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2\) karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2=f(3)\)

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) – cos x| =< g(x) -5. Jika \(\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5\) maka dengan menggunakan Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\).

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) – cos x| =< g(x) -5
<==> – (g(x) – 5) =< f(x) – cos x =< g(x) -5
<==> 5 – g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) – 5 + cos x
Karena \(\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5\) maka:
\(\lim_{x\rightarrow 0}(5-g(x)+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}(-g(x))+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 0}(g(x)-5+\cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)+\lim_{xrightarrow 0}5+lim_{x\rightarrow 0}cos x=1\)
sehingga menurut Teorema Apit \(|lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1\)

Bagian 8
Dengan menggunakan Teorema Apit, hitunglah:
\(\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{\sin x}{x} \right |\)

Jawab:
Diperoleh:
\(-1\leq \sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq \left | \sin x \right |\leq 1\)
\(\Leftrightarrow 0\leq \left | \frac{\sin x}{x}\right |\leq \frac{1}{\left | x \right |}\)
\(\Leftrightarrow 0\leq x^{2} \left | \frac{\sin x}{x}\right |\leq \frac{x^{2}}{\left | x \right |}\)
Karena \(\lim_{x\rightarrow 0}0=0\) dan
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{ x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{ -x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0\)
sehingga, \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=0\) maka menurut Teorema Apit dapat disimpulkan bahwa:
\(\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{\sin x}{x} \right |=0\)

Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi \(\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq \sin^{2}(x-2)\) untuk semua x adalah bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan \(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\)

Jawab:
\(\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq \sin^{2}(x-2)\)
\(\Leftrightarrow -\sin ^{2}(x-2)\leq f(x)+1\leq \sin ^{2}(x-2)\)
\(\Leftrightarrow -\sin^{2}(x-2)-1\leq x^{2}f(x)\leq \sin^{2}(x-2)-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{-\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\leq f(x)\leq \frac{\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\)
Karena,
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{\sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\)
maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh:
\(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\frac{1}{4}\)