Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 7 nomor untuk soal matriks beserta cara penyelesaiannya. Tanpa basa-basi lagi, berikut soal matriks disertai penyelesaiannya.
 
Nomor 1

Soal: Diberikan mariks A dan B sebagai berikut:

$$A=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}$$

a. Tentukan:

$$(AB^{T}+I_{2})^{-1}$$
Jawab:
Pertama-tama cari dahulu:

$$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 1.(-1)=-1 &1.3=3 \\ 2.(-1)=-2 & 3.3=6 \end{pmatrix}$$

Setelah itu tambahkan hasil di atas dengan \(I_{2}\) sehingga akan seperti berikut:

Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya
 

Kemudian hasil di atas, di inverskan. Pertama-tama cari dahulu nilai determinan dari matriks yang sudah diperoleh yaitu sebagai berikut:

$$AB^{T}+I_{2}=0.7-3(-2)=6$$

Dengan demikian:

$$(AB^{T}+I_{2})^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 7 &-3 \\ 2 &0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 7/6 &-1/2 \\ 1/3& 0 \end{pmatrix}$$

Baca juga:

 
Nomor 2
Soal: Diberikan matrik A berukuran 2×2 dan matriks B berukuran 3×2 sebagai berikut:
$$A=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 &-2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$$

Tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] Pangkat matriks B, dan berikan alasannya.
Jawab:
a] Pertama-tama, ubah dahulu matriks B menjadi matrik B yang di transpos sebagai berikut:

$$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 0\\ 6 &1 \end{pmatrix}$$
$$\rightarrow B^{T}=\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$$

Setelah itu, tentukan \(AB^{T}\) sebagai berikut:
$$AB^{T}=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 3(1)+(-1)(-1)=4 &3(2)+(-1)(0)=6 &3(6)+(-1)(1)=17 \\ 1(1)+(-2)(-1)=3 &1(2)+(-2)(0)=2&1(6)+(-2)(1)=4 \end{pmatrix}$$
b] Untuk menjawab pertanyaan b, ada 2 cara penyelesaian yaitu sebagai berikut:

Cara 1: Ambil anak matriks dari matriks B berukuran 2×2 sebagai berikut:

$$\hat{B}=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \end{pmatrix}$$

karena :
$$\left | hat{B} \right |=2\neq 0$$
maka p(B) = 2

Cara 2: Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks B sehingga menjadi matriks mirip sgitiga atas. Seperti berikut ini:
$$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$$

Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya

Terlihat bahwa p(B) = 2

Nomor 3
Soal: Diberikan matriks B sebagai berikut:

$$B=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &1 &1 \\ 1 &0 &0 \end{pmatrix}$$

Tentukan: \(B^{-1}\) dengan metode matriks adjoin.
Jawab:
Pertama-tama, tentukan dahulu matriks kofaktornya sebagai berikut:
Matriks kofaktor \(C=(a_{ij})\) dengan:

Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Sehingga matriks kofaktornya sebagai berikut:

$$C=\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}$$

Dengan mengambil baris ke-3 dari matriks B, diperoleh:

$$\left | B \right |=\alpha _{31}\alpha _{31}+\alpha _{32}\alpha _{32}+\alpha _{33}\alpha _{33}=1.1+0.0+0.0=1$$

Maka:

$$B^{-1}=\frac{1}{\left | B \right |}C^{T}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}^{T}$$
$$=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ -1 &1 &1 \end{pmatrix}$$



Nomor 4
Soal: Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

\(A=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix} 4 &0 &-3 \\ -1 &-2 &3 \end{pmatrix}\)

Jika ada, tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] \((AB^{T})^{-1}\)
Jawab:
a] Akan diperoleh seperti dibawah ini:

$$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 &-2 \\ -3 &3 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} -2 &7 \\ -12 &6 \end{pmatrix}$$

b] Untuk mencari matriks invers dari jawaban (a) maka terlebih dahulu tentukan nilai determinannya, yaitu: (-2)(6) – (-12)(7) = 72. Sehingga,

\((AB^{T})^{-1}=\frac{1}{72}\begin{pmatrix} 6 &-7 \\ 12 &-2 \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} 1/12 &-7/72 \\ 1/6 & -1/36 \end{pmatrix}\)

Nomor 5
Soal: Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:

$$A=\begin{pmatrix} 1 &-1 \ 3 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$$

Tentukan:
a] 3BA – 2B
b] \(det(5A^{T})\)
Jawab:
a] Akan diperoleh sebagai berikut:
$$3BA-2B$$

$$=3\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$$
$$3BA-2B=\begin{pmatrix} 27 &-33 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 &-8 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -33 &-25 \end{pmatrix}$$
b] Pertama-tama cari dahulu

$$5A^{T}=5\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}^{T}= 5\begin{pmatrix} 1 &3 \\ -1 &2 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 5 &15 \\ -5 &10 \end{pmatrix}$$

Kemudian determinankan hasil matriks tersebut sebagai berikut:

$$\det(5A^{T})=5(10)-(-5)(15)=125$$

Nomor 6
Soal: Diketahui matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$$A=\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}$$

Tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] pangkat matriks A
Jawab:
a] Akan diperoleh:

Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya
 

b] Karena baris ke tiga merupakan kelipatan baris ke dua maka |A| = 0 sehingga p(A) < 3. Dengan mengambil salah satu anak matriks berukuran 2 x 2 maka akan di peroleh sebagai berikut:

$$\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix}=2\neq 0$$

Sehingga p(A) = 2.
Atau dengan cara lain, yaitu melakukan Operasi Baris Dasar (OBD) sehingga A menjadi matriks segitiga atas seperti di bawah ini:

$$\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}$$
$$E_{32(-2)}\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2+1(-2)=0 &0 \end{pmatrix}$$

Diperoleh, p(A) = 2


Baca Juga :

 
Nomor 7
Soal: Diberikan matriks A dan C sebagai berikut:
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$$

Tentukan: matriks X yang memenuhi

$$AXC=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ \end{pmatrix}$$

Jawab:

Contoh Soal Matriks disertai Penyelesaiannya

Sampai disini yaaa Gengs pembahasan kita tentang “Contoh Soal Matriks dan Penyelesaiannya“. 

Semoga Bermanfaat.

sheetmath

Tinggalkan Balasan

Kembali ke atas