Contoh Soal Terapan Matriks dan Penyelesaian (SPL)

(a) Tuliskan SPL di atas dalam notasi matriks AX = B
(b) Periksa apakah SPL di atas memiliki solusi
Jawab:
(a) Dapat dituliskan,

(b)  Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan:

Karena p(A|B) # p(A) maka SPL tidak konsisten sehingga tidak mempunyai solusi.

Nomor 2
Soal: Diketahui sistem persamaan linear (SPL) sebagai berikut:
x+2y=5
2x + α y=3
Tentukan nilai α sehingga SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.

Jawab:

Agar SPL memiliki penyelesaian tunggal maka haruslah
p(A) = p(A|B) = 2    <==>    a – 4 # 0    <==>   a # 4

Nomor 3
Soal: Diberikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut:

Tentukan nilai α sedemikian sehingga:
(a) SPL memiliki persamaan tunggal
(b) SPL memiliki tak hingga banyak solusi
(c) SPL tidak memiliki solusi
Jawab:
Operasi baris dasar terhadap matriks diperbesar (A|B) menghasilkan:

(a) SPL memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika
p(A) = p(A|B) =2  ⇔ a – 1 # 0 ⇔ a # 1

(b) SPL memiliki tak hingga banyak solusi jika dan hanya jika
p(A) = p(A|B) < 2  ⇔   a anggota dari himpunan kosong

(c) SPL tidak memiliki solusi jika dan hanya jika
p(A) # p(A|B)  ⇔   a – 1 = 0  ⇔  a = 1

Nomor 4
Soal: Sebuah perusahaan akan membuat dua jenis sampo, yaitu sampo A dan sampo B. Bahan baku yang tersedia cukup untuk membuat setiap jenis sampo tetapi botol yang tersedia hanya 75000 buah. Waktu yang diperlukan untuk membuat 1000 sampo A dan 1000 sampo B berturut-turut adalah 5 jam dan 2 jam. Berapa botol sampo A dan sampo B yang dapat dibuat agar seluruh botol terpakai dalam waktu 300 jam?
Jawab:
Misalkan a dan b berturut-turut menyatakan banyaknya sampo A dan B yang dapat dibuat (dalam botol).
Masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk SPL sebagai berikut:
a+b=75000
(5/1000)a+ (2/1000)b=300
atau
$$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}$$
$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 25000 \end{pmatrix}$$

Sehingga banyaknya sampo A yang dapat dibuat yaitu 50000 dan sampo B yaitu 25000

Jangan lupa, baca juga : 


Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks
Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
Matriks – Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar
Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi

Nomor 5
Soal: Toko kue dan roti “Merdeka” akan memproduksi 3 jenis roti spesial, yaitu A, B, dan C. Sebuah roti jenis A membutuhkan 1 kg tepung, 2 kg mentega dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis B membutuhkan 1 kg tepung, 3 kg mentega, dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis C membutuhkan 2 kg tepung, 2 kg mentega dan k kg gula. Toko tersebut memiliki persediaan 400 kg tepung, 200 kg mentega dan 900 kg gula. Diinginkan persediaan setiap bahan habis dan setiap jenis roti diproduksi.
(a) Rumuskan masalah di atas dalam bentuk sistem persamaan linear (SPL)
(b) Tentukan nilai k agar semua janis roti diproduksi
Jawab:
(a) SPL:
a+b+2c=400
2a+3b+2c=700
2a+2b+kc=900
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan

agar SPL konsisten k # 4
(b) Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ( SPL ):
$$c=\frac{100}{k-4}$$
     $$b=-100+2c=-100+\frac{200}{k-4}=\frac{600-100k}{k-4}$$
     $$a=400-b-2c=400-\frac{600-100k}{k-4}=\frac{500k-2400}{k-4}$$
Agar semua jenis roti diproduksi, haruslah a,b,c merupakan bilangan-bilangan positif, sehingga:
$$c> 0\Leftrightarrow \frac{100}{k-4}> 0\Leftrightarrow k-4> 0\Leftrightarrow k> 4$$
$$b> 0\Leftrightarrow \frac{600-100k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 600-100k> 0\Leftrightarrow 6> k$$
$$a> 0\Leftrightarrow \frac{500-2400k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 500-2400k> 0\Leftrightarrow k> \frac{24}{5}$$
atau secara singkat

$$\frac{24}{5}< k< 6$$

Dapat diperiksa bahwa satu-satunya k yang menghasilkan a, b, c bulat positif adalah k = 5, sehingga:
$$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 100\\ 100\\ 100 \end{pmatrix}$$


Nomor 6

Pertanyaannya:
(a) Formulasikan masalah tersebut ke dalam SPL
(b) Selesaikan SPL tersebut dan tentukan harga tiket masing-masing permainan tersebut
Jawab:
(a) Misalkan:
x = harga tiket permainan “Ciut Nyali”
y = harga tiket permainan “Ayun Gantung”
z = harga tiket permainan “Terbang Nyungsep”
3x + 6y + 3z = 270000
2x + 5y + 5z = 250000
dengan x,y,z > 0 dan x,y,z = 10000k, dimana k: bilangan bulat positif.

(b) Untuk soal b, penyelesaiannya sebagai berikut

Diperoleh
x + 2y + z = 90000
y + 3z = 70000 <===> y =70000 – 3z

Misalkan z = k, maka:
y = 70000 – 3z
x = 90000 – 2y – z
= 5k – 50000

Diperoleh

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5k-50000\\ 70000-3k\\ k \end{pmatrix}$$

Diketahui:
x,y,z > 0 artinya:

5k – 50000 > 0
70000 – 3k > 0
k > 0
atau:
10000 < k < 70000/3

karena x,y,z = 10000k dimana k: bilangan positif maka k = 20000 sehingga:

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 10000\\ 20000 \end{pmatrix}$$

Jadi:
Harga tiket permainan “Ciut Nyali” adalah Rp 50000
Harga tiket permainan “Ayun Gantung” adalah Rp 10000
Harga tiket permainan ” Terbang Nyunsep” adalah Rp 20000

Nomor 7
Soal: Tahun lalu Pak Karta membeli sejumlah saham tiga perusahaan, yaitu PT Ogah Rugi, PT Fulus Terus dan PT Semoga Jaya. Harga perlembar saham PT Ogah Rugi sebesar $50, PT Fulus Terus $40 dan PT Semoga Jaya  sebesar $30. Pak Karta menghabiskan uang sebesar $23200 untuk membeli saham ketiga perusahaan tersebut, dengan banyaknya saham PT Fulus Saham yang dibeli adalah dua kali lipat banyaknya saham PT Semoga Jaya. Tahun ini harga saham PT Ogah Rugi naik 20% sedangkan harga saham kedua  perusahaan lainnya naik 10%. Pak Karta menjual seluruh sahamnya dengan harga $3320 lebih tinggi daripada harga saat ia membelinya. Berapa banyaknya saham setiap perusahaan yang dibeli oleh Pak Karta tahun lalu?
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya saham PT Ogah Rugi yang dibeli Pak Karta tahun lalu
y : banyaknya saham PT Fulus Terus yang dibeli Pak Karta tahun lalu
z : banyaknya saham PT Semoga Jaya yang dibeli Pak Karta tahun lalu

SPL:
50x + 40y + 30z = 23200
y =  2z
50.120% x + 40.110% y + 30.110% z = 23200 + 3320

Secara ekuivalen
5x + 4y + 3z =2320
y – 2z = 0
60x + 44y + 33z = 26520

Dalam notasi matriks:

$$\begin{pmatrix} 5 &4 &3 \\ 0 &1 &-2 \\ 60 &44 &33 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2320\\ 0\\ 26520 \end{pmatrix}$$

Solusinya:

Sehingga diperoleh:

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200\\ 240\\ 120 \end{pmatrix}$$

Nomor 8
Soal: Seorang pedagang grosir pakaian anak-anak di Pasar Anyar menjual kaos dalam serap keringat harga Rp 5000/3 buah, celana pendek anti sobek Rp 9000/buah dan kemeja tanpa kerah Rp 10000/buah. Menjelang lebaran yang lalu Mang Apud pedagang keliling di kampung Babakan membeli kaus dalam, celana pendek, dan kemeja yang seluruhnya sebanyak 90 buah seharga total Rp 436000. Dengan menggunakan SPL, tentukan banyaknya kaos dalam, celana pendek, dan kemeja yang dibeli Mang Apud!
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya kaos dalam yang dibeli
y: banyaknya celana pendek yang dibeli
z: banyaknya kemeja yang dibeli
SPL:
x+y+z=90
(5000/3)x+9000y+10000z=436000
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar:

Dari baris kedua diperoleh
22y+25z=858